证明:由(2)可将G表示为
G = { ab | a∈A，b∈B}，
而 A×B= {(a, b) | a∈A，b∈B} 作映射 f: G→A×B， ab→(a,b) ∵a1b1=a2b2 a1-1a2=b1b2-1∈A∩B a1-1a2=b1b2-1={e} a1=a2，b1=b2，
∴ f 是映射且为单射，f 也是满射。
2.4.5 群分解为不可分解子群的直积 (Group being Resolved Direct Product of Unresolved Subgroup)
定义: 设G=G1×G2×…×Gn，其中Gi G，1≤i≤n， 映射 fi : G→G fi (x) = xi , x=x1x2…xi…xn∈G，xi∈Gi 而且 fi 具有如下性质: (1) fi 是G的自同态: fi (xy)=fi (x) fi (y); (2) fi 是幂等的: fi2 = fi ; (3) fi 是正交的: 对 x∈G，则 i≠j 有 fi fj =0 (4) fi 是正规的: 任意自同构Ca，有 fi Ca= Ca fi。 则称 fi 为G的投影.
定义二元运算为乘法 (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)， 则G关于乘法构成群，
G=G1×G2×…×Gn
为群G1，G2，…，Gn的外直积。 特别地，如果Gi中的二元运算都采用“+”，则称直 积 为直和，记做:G=G1⊕G2 ⊕… ⊕Gn
注1. 设e1，e2 分别是G1，G2的单位元则(e1，e2)是G1×G2 的单位元；
2.4.3 群的直积分解 (Direct Product Resolving of Group)
一般情况下，一个群能否表示(分解)为两个群的直 积呢? 定理1 设G是群，A，B是G的两个子群，满足: (1) A，B是G的不变子群，A,B G; (2) G=AB ; (3) A∩B={e}. 则G A×B.
2.4.4 群的内直积 (Internal Direct Product of Group)
定义:设G1，G2是群G的两个正规子群，满足条件 G=G1G2，G1∩G2=e， 则称G是G1和G2的内直积。 定理1设G1，G2是群G的两个子群，则G是G1和G2的内直 积的充要条件是G满足下列条件 ⑴群G中的每个元素都可唯一地表示成hk的形式，其中 h ∈ G1， k ∈ G2 ; ⑵群G1中的每个元素与群G2中的任意元素可交换， hk = kh. 定理2设G是正规子群G1，G2的内直积，则GG1×G2； 反之,若G =G1×G2，则存在群G的两个正规子群G'1， G'2，且G'i与Gi同构，使得G是G'1与G'2的的内直积。
2.4.6 有限群的直积分解 (Direct Product Resolving of Limited Group))
定义:设n是正整数，pi 是素数，若 n=p1α1p2α2 …prαr =n1n2…nr， 则称 ni (1≤i≤r)为n的初等因子。若 ni|ni+1，i=1，2，…，r-1， 则称ni为n的不变因子。 定理3 设G是有限可换群，|G|=n，则G可分解为如 下循环群的直积， G = C 1 CP 2 ... CPr
§2. 4 群的直积 (2.4 Direct Product of Group)
2.4.1 群的外直积(External Direct Product of Group)
定义:设G1，G2是两个群， G1×G2={(a，b)|a∈G1，b∈G2}， 在G1×G2中定义二元运算为乘法: (a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)， 则G1×G2关于这种乘法构成群，称G1×G2是G1和G2 的外直积，简称直积。 更一般地，设G1，G2，…Gn是群，考虑 G=G1×G2×…×Gn={(a1,a2,…,an)|ai∈Gi, 1≤i≤n}，
x1=a1b1，x2=a2b2∈G，由(1)(2)及正规子群 的性质，A和B的元素可交换，故有 f(x1x2)=f(a1b1a2b2)=f(a1a2b1b2)=(a1a2，b1b2) = (a1, b1) (a2, b2) = f(x1)f(x2) 保运算
∴G A×B
推论: 设群G有n个不变子群Gi G ，i=1，2，…，n， 使G的每一元均可唯一地表示为G1，G2，…，Gn的 元的积，则 G G1×G2×…×Gn。 注:推论中的两个条件 (1) G1，G2，…，Gn是G的不变子群; (2) G的每一元均可唯一地表示 G1, G2，…，Gn 的元的积，等价于以下三个条件: (1) G=G1G …Gn n2 (2) Gi G j {e}
j 1 j i
(3) ai∈Gi，aj∈Gj，i≠j，有aiaj=ajai
更一般地，我们有 定理2. G G1×G2×…×Gn Gi' G, i=1,2,…,n, 使Gi' Gi，且
(1) G=G1' G2' …Gn' ={a1' a2'…an' |ai' ∈Gi' ，1≤i≤n}
(2) Gi' ∩(G1 ' …Gi-1' Gi+1' …Gn')={e'}， i=1,2,…,n, 推论: G G1×G2×…×Gn Gi' ≤G， i=1,2,…,n, 使 Gi' G，且 (1) a∈G，a=a1' a2' …an' ，ai' ∈Gi' 唯一表示 (2) ai' ∈Gi' ，aj' ∈Gj' ，i≠j→ ai' aj' = aj' ai'
P 1
2 r
其中p1α1，p2α2， …，prαr 是n的某一个初等因子组。
定理4. 设G是有限可换群， |G|=n=n1n2…nr， 其中 n1， n2， … nr 为n的不变因子组，则

G Cn1 Cn2 ..., Cnr
(G可表示n的为不变因子相应的循环群的直积) End
例2. 设G={e，a}是二阶循环群，则G×G含有4个元， 即 G×G={(e，e)，(e，a)，(a，e)，(a，a)} 由于 (e，a)(e，a)=(e，e)，
(a，e)(a，e)=(e，e)，
(a，a)(a，a)=(e，e)，
故G×G与Klein四元群同构, G×G K4 。
2.4.2 群的直积的性质 (Property of Direct Product of Group)
定理1 设G =G1×G2，则
⑴ G是有限群的充要条件是G1，G2都是有限群.而且
当G有限时， |G | = | G1| | G2 |； ⑵ G是交换群的充要条件是G1，G2都是交换群；
⑶ G1×G2 =G2×G1 .
定理2 设a, b分别是G1, G2的有限阶元素，则对 (a, b)∈ G1×G2，有(a, b)= [(a), ( b)]. 定理3 设G1，G2分别是m, n阶循环群，则G1×G2是循 环群的充要条件是(m, n)=1.
注. 两个投影 fi，fj 称为正交的，若 fi fj =0， f1，…，fn 称为正交投影组，若i≠j 有 fi fj =0 定义:群G叫做可分解的，若存在真正规子群G1，G2， 使G=G1×G2，否则称G是不可分解的。 定理1 群G可分解 存在投影 f ≠0,ε (ε为恒等映射) 定理2. 若群G≠{e}满足正规子群的降链条件，则G 存在不等于{e}的正规子群H1，…Hr，使 G=H1×H2×…×Hr， 且 Hi 都是不可分解的。
注2. 设 (a，b)∈ G1×G2 ，a∈G1，b∈G2 ，则 (a，b)-1= (a-1 ，b-1) 。
例1. 设G1=(Z，+)，G2=(Z/(6)，+)，则G1⊕G2 是一个 无限群，单位元为0=(0，0 )， (3， 5 )，任一元都是无限阶元。 4 )+(5，7 )=(8，
例a=(1， 3k )≠0。 3 )，则 k∈N，ka=(k，