A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据图象关系，得出 ， ，即可求解 的取值范围.
【详解】作出函数 的图象，如图所示：
方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，满足 ，
则 ，
即： ，所以 ，
，所以 ，根据二次函数的对称性可得： ，
，
考虑函数 单调递增，
，
所以 时 的取值范围为 .
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性 ，则 ， ，即可得到解析式；
（2）分段解方程 即可得到函数的零点.
【详解】解：（1）设 ，则 ，
所以 ，
因为 为奇函数，
所以 ，
所以 ，
故 的解析式为
.
（2）由 ，得
或 ，
解得 或 或 ，
所以 的零点是-1，0，1.
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.
9.若 ，则 的值为（ ）
A.0B.1C. D.2
【答案】B
【解析】
【分析】
对所求代数式变形 ，分子分母同时除以 即可得解.
【详解】由题： ，
故选：B
【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以 求解.
10.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
15.若偶函数 对任意 都有 ，且当 时， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算 .
【详解】由题：任意 都有 ，所以 ，
所以 周期为6，且为偶函数，当 时， ，
，
，所以 ，
根据函数为偶函数 ，
所以 ，
即 .
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间.
第Ⅰ卷共12小题.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集运算规则即可得解.
【详解】由题：集合 ， ，
则 .
故选：C
【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题.
【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.
故选：A
【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.幂函数 的图像经过 ，则 = ________．
【答案】
【解析】
试题分析：设 ，则有 ，所以， =9
【解析】
【分析】
根据指数函数 的单调性得 的大小关系和取值范围，构造函数 ， 即可进行比较.
【详解】指数函数 单调递减，
，即 ，
所以 ，
所以指数函数 是减函数， ， ，
考虑幂函数 在 单调递增， ，即 ，
综上所述： .
故选：C
【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.
（2）解方程 即可得解.
【详解】（1）函数的自变量 应满足：
，即 ，
所以函数 的定义域是
.
（2）因为 ，所以 ，
化简得 ，
，
所以 或55.
【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.
18.（1）计算： .
（2）化简： .
【答案】（1） （2）
20.已知函数 的图象的对称中心到对称轴的最小距离为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为-1
【解析】
【分析】
（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据 即可求解；
（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在 的单调性，即可得到最值.
11.若 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令 ，因为 ，所以 ，则
，当 时， ；故选D.
点睛：求形如 或 的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令 或 ，则 ，但要注意 的取值范围.
12.已知函数 ，若方程 有四个不同的实根 ， ， ， ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.
4.若函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数解析式直接代入得解.
【详解】由题：函数 ，
则 .
故选：B
【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可.
5.若角 的终边经过点 ，则 （ ）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）若 ，求 值.
【答案】（1） （2） 或55
【解析】
【分析】
（1）解不等式 ，其解集就是定义域；
【详解】解：（1）由 得
，
由 知 ，
代入上式得 ，
所以 ，
所以 .
（2）令 ，则 .
因为函数 在 上是增函数，则
或 ，
解得 或 ，
故实数 的取值范围是 .
【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 在 上单调递增,从而可得 ，解不等式即可.
【详解】解析:由 是偶函数且在 上单调递减,知 在 上单调递增,
则满足 的实数x的取值范围为
解得 .
故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题.
8.为了得到函数 ， 的图象，只需把函数 ， 的图象上所有的点（ ）
2. （ ）
A.-2B.-1C.0D.1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底对数减法法则求解.
【详解】根据同底对数减法法则： .
故选：D
【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解.
3. （ ）
A.1B.-1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
处理 即可得解.
【详解】由题： .
故选：A
16.下面有四个命题：
①若 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数，则当 时， ；
②终边落在坐标轴上的角 的集合是 ；
③若函数 ，则 对于任意 恒成立；
④函数 在区间 上是减函数.
其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号）
【答案】①②
【解析】
【分析】
①当 时， ，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例 ；④函数 在区间 上是增函数.
考点：幂函数
点评：简单题，待定系____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角三角函数关系 变形即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
由题： ，
即 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出 的等价形式求解.
【详解】①若 是定义在 上的偶函数，且在 上是减函数，所以在 单调递增，
则当 时， 所以 ，所以①正确；
②终边落在坐标轴上的角 的集合是 ，所以②正确；
③若函数 ，可得 ，不相等，所以③说法错误；
④函数 在 单调递增，函数向右平移 得到 在区间 上 增函数，所以④错误.
故答案为：①②
【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解.
【详解】由题：角 的终边经过点 ，
则 .
故选：A
【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.
6.若函数 ，则 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.1
【答案】C
21.已知变量 ， 满足关系式 （ 且 ， ，且 ），变量 ， 满足关系式 .
（1）求 关于 的函数表达式 ；
（2）若（1）中确定的函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
分析】
（1）根据 ，结合 ，利用对数的运算法则，变形得到 ；
（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数 的取值范围.
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂及对数的运算法则求解；
（2）结合诱导公式即可化简.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】此题考查指数对数 基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本公式的掌握.