高中数学必修2知识点——直线与圆
整理
徐福扬
一、直线与方程（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即。
斜率反映直tan k α=线与轴的倾斜程度。
当时，； 当时，； 当时，[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=α不存在。
k ②过两点的直线的斜率公式： )(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不21x x =存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()
11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。
②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b b kx y +=③两点式：
（）直线两点，11
2121
y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1
x y a
b
+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴l x (,0)a y (0,)b l x y 的截距分别为。
,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）
0=++C By Ax
注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○
1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：
b y =（a 为常数）；
a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）0000=++C y B x A 00,B A 的直线系：（C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点()00x x k y y -=-；
()00,y x （ⅱ）过两条直线，的0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线
()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λλ2l 系中。
（6）两直线平行与垂直
当，时，
111:b x k y l +=222:b x k y l +=；212121,//b b k k l l ≠=⇔1
2121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 交点坐标即方程组的一组解。
⎩⎨⎧=++=++00
222
111C y B x A C y B x A 方程组无解 ； 方程组有无数解与
21//l l ⇔⇔1l 重合
2l （8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系1122(,),A x y B x y ，（）中的两个点，
则
||AB =（9）点到直线距离公式：一点到直线
)00,y x P 的距离0:1=++C By Ax l 2
200B A C
By Ax d +++=
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆与方程
圆的标准方程
1、圆的标准方程：222
()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点与圆的关系的判断方法：00(,)M x y 222()()x a y b r -+-=（1）>，点在圆外 （2）=，
2200()()x a y b -+-2r 2200()()x a y b -+-2r 点在圆上
（3）<，点在圆内2200()()x a y b -+-2r 4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程： 022=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线：，圆：，圆的半径为
l 0=++c by ax C 022=++++F Ey Dx y x ，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系r )2
,2(E
D --
d 的依据有以下几点：
（1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆
r d >l C r d =l 相切；
C （3）当时，直线与圆相交；r d <l C 4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下l 几点：
（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆
21r r l +>1C 2C 21r r l +=与圆外切；
1C 2C （3）当时，圆与圆相交；
<-||21r r 21r r l +<1C 2C （4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆
||21r r l -=1C 2C ||21r r l -<与圆内含；
1C 2C 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组，、、
),,(z y x x y 分别是P 、Q 、R 在、、轴上的坐标
z x y z 2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点
),,(z y x 3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组来表示，该),,(z y x 数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ，叫做),,(z y x x 点M 的横坐标，叫做点M 的纵坐标，叫做点M y z 的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点到点之间),,(1111z y x P ),,(2222z y x P 的距离公式
2
2122122121)
()()(z z y y x x P P -+-+-=。