通常有三种可能：
① 系统渐近稳定：x(k)将趋向于平衡状态xe ② 系统稳定：x(k)有界 ③系统不稳定：x(k)朝着偏离xe的无限大方向发 散
5
图4. 1
x2 x(0)
0 xe
x2
x(0)
x1
0 xe
x1
x2
x(0)
0 xe
x1
系统渐 近稳定
系统 稳定
系统 不稳定
6
二、 平衡态的定义
设有离散时间系统
系统关于xe的稳定性取决于特征值的情况
特征方程为：
I A f () 2 a1 a 0 0
22
定理2：
系统关于平衡态xe渐近稳定的 充分必要条件为：
1
1 a1
a0
a0
0
0
1 a1 a0 0
23
第三节
单品种商品市场价格 模型稳定性分析
一、模型原理
设：某市场中，
消费者对某商品的需求函数为
0.7
x2
(
z)
求出：
x1(z)
x2
(
z)
z 0.5
0.3
0.2 1 z 0.7 z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1(0)
x2
(0)
z
0.7 0.3
z
z
0.2 0.5
z
x1 x2
(0) (0)
0.5 0.2
0.3 z 0.7
(z 0.7)
0.3x1
(0)
x1
(0) 0.2x2 (z 0.5)x2
(0) (0)
z
z2 1.2z 0.29
15
求Z反变换
可得xi(k)的具体形式：
Xi(k)＝ai×0.8645751k＋bi×0.3354248k
i=1、2……
ai、bi为与初值相关的系数项。
因为
lim
k
x
i
(k)
0
所以，系统是渐近稳定的。 16
上例中可以看出，求解差分 方程，特别是高阶方程是比 较困难的。
许多的经济系统可以 化为二阶定常系统
下面专门讨论不用求出特征值 便能直接判别系统稳定性的充分 必要条件。
21
稳定性判别
设有系统 x(k+1)=Ax(k) 式中：x(k)∈R2×1，A∈R2×2。
显然X=0是它的平衡态，如果平衡状态X=0是稳定的 （或渐进稳定）则称该线性定常系统是稳定的（或 渐进稳定的）。
x(k) a bp(k)
厂商对该商品的供给函数为
y(k) c dp(k 1)
或 y(k 1) c dp(k)
a，b，c，d为>0的常数。
x(k)需求量， y(k)供给量，p(k)价格。 26
图4. 3 供需曲线
价格 P
D
S
➢反函数
需求量 x(k) 供给量 y(k)
27
分析
假设供给量滞后价格一个时间单位（如今 年的农产品价格受去年价格的影响），市
λi 为特征方程的 n 个根，
如果 i 1 ，i＝1、2……，则系统是渐近稳定的。
19
检验例1
0.5 I A
0.2 2 1.2 0.29 0
0.3 0.7
∴λ1＝0.8645751, 1 1
λ2＝0.3354248, 2 1 ∴系统是渐近稳定的。
20
二、二阶线性定常系统的稳定 性
(3)
y(k) C(k)
(4)
其中：x(k)为n维状态向量，
u(k)为m维控制向量，
y(k)为r维输出向量，
A、B、C、D为维数相应的常数矩阵。
9
对系统 (3)~(4) 做Z变换
zx(z) zx(0) Ax(z) Bu(z)
(5)
求得： y(z) Cx(z)
(6)
x(z) (zI
外界输入u ( k ) 引起的强迫运动 系统自身决定的自由运动
如果系统不受外部的控制作用，即 u(k)≡0（齐次方程），则系统只有自由运动， 当k→∞时，自由运动消失,
x(k)→xe=0，
则称系统为渐近稳定。 11
稳定性定义：
考 虑 系 统 (3)-(4) ， 如 果 系 统 输 入 u(k)≡0，
A)1 zx(0) (zI
A)1 Bu(z)
(7) (8)
y(z) C(zI A)1 zx(0) C(zI A)1 Bu(z)
求Z反变换：
x(k) Z 1[(zI - A)-1z]x(0) Z 1[(zI - A)-1Bu(k)]
10
分析：
x(k)是系统内部状态变量，其变化分
为两部分
场达到供需平衡时 x(k) y(k)
即 a bp(k) c dp(k 1)
或 a bp(k 1) c dp(k)
作Z变换
a z b z p(z) b z p(0) c z d p(z)
z 1
z 1
整理 (b z d ) p(z) (c a) z b z p(0)
差分方程解的性质与特征 方程的根密切相关，所以可以 通过对特征根的分析来判断 系统的稳定性。
17
第二节
经济系统稳定性的判 别
一、特征方程判别法
定理 1：
设：系统 x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
特征方程
I A n a n1n1 a11 a 0 0
当 lim x(k) 0
k
称系统为渐近稳定的。
12
稳定性的属性
例1：
设有如下系统
x1 (k x 2 (k
1) 1)
0.5 0.3
0.2x1 (k) 0.7x 2 (k)
判断系统的稳定性。
14
解：做Z变换
z
x1 x2
(z) (z)
z
x1 x2
(0) (0)
0.5 0.3
0.2 x1(z)
如果能够预先判断经济系统的稳定性， 对不稳定或稳定性欠佳的系统采取预先 的控制措施，使经济系统的运行更为接近 理想的稳定状态。
3
经济系统稳定性研究目的
了解经济系统的动态规律； 预测发展方向； 分析经济系统结构； 政策模拟。
4
一、稳定性理论提出的典型问题
如果系统的初始状态偏离了系统的某 个平衡状态，当时间k不断增大时，系 统的状态x(k)相对于平衡状态xe的发展规 律将会怎样的？
x(k+1)=f[x(k)]
(1)
式中：x(k) ∈Rn×n，
f[x]为已知的n维向量函数。
如果存在xe，xe∈Rn×n，满足向量方程
xe＝f[xe]
(2)
则称xe为系统 式(1)的一个平衡状态(均衡状态)。
7
三、线性定常离散系统的稳定性
设有线性离散经济系统
x(k 1) Ax(k) Bu(k)
第四章 经济系统的稳定性分析
第一节、经济系统稳定性的概念 第二节、经济系统稳定性的判别 第三节、单品种商品市场价格的稳定性 第四节、国民收入系统的稳定性
第一节
经济系统的稳定性 概念
稳定性
经济系统的稳定性是经济控制论研究 的重要问题之一。
实际的经济系统在运行中的稳定性关 系到系统能否实现预定的目标。