第六章 圆轴的扭转习题解析6-1 试述绘制扭矩图的方法和步骤。
答：首先求任意截面的扭矩，一般步骤为：“假截留半，内力代换，内外平衡”。
熟练后也可用简捷方法计算而无须画出分离体受力图。
取平行于轴线的横坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图，即为扭矩图。
6-2 为什么空心轴比实心轴能充分发挥材料的作用？答：空心圆轴比实心轴能充分发挥材料的作用，其原因在于圆轴扭转时，横截面上应力呈线性分布，越接近截面中心，应力越小，那里的材料就没有充分发挥作用。
做成空心轴，使得截面中心处的材料安置到轴的外缘，材料得到了充分利用。
而且也减轻了构件的自重。
6-3 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。
图6-1 题6-3图解：截面上与T 对应的切应力分布图如下：图6-26-4 用截面法求图6-3所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图6-3 题6-4图解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-4）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。
图6-4b) 采用截面法计算扭矩（见图6-5）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。
图6-56-5 如图6-6所示，作各杆的扭矩图。
图6-6 题6-5图解：a)采用截面法计算扭矩（见图6-7）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。
作出扭矩图。
a)图6-7b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。
采用截面法计算扭矩（见图6-8b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。
作出扭矩图。
c) 由力矩平衡方程可得0=C M 。
采用截面法计算扭矩（见图6-8c ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T -=-11。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得022=-T 。
作出扭矩图。
b) c)图6-86-6 图6-9所示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝７kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力； （3）求轴的最大单位长度扭转角。
图6-9 题6-6图解：（1）绘扭矩图用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。
绘出的扭矩图如图6-9所示。
（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。
由式（6-13）得其最大切应力为()a a P MP MP W T 3.941060161043332max =⨯⨯⨯==-πτ(3) BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。
按式（6-20）得mmGI Tp25.218010603210801041804393max max =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-πππθ）（6-7 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图6-10所示。
已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
图6-10 题6-7图解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩由式（6-1），可得m N m N n P T ⋅=⋅⨯==7161005.795509550（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：a a P P P d W T 631max 1040][16716⨯=≤⨯==τπτ解得 mm m Td 0.451040716][36163161=⨯⨯=⨯≥ππτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：aa PP P D W T 6432max 1040][)1(16716⨯=≤-⨯==ταπτ解得 mm m TD 0.46)5.01(1040716)1]([3461634162=-⨯⨯⨯=-⨯≥ππατ 6-8 图6-11所示的变截面钢轴，已知作用于其上的外力偶矩M 1=1.8kN ·m ，M 2=1.2kN ·m 。
材料的剪切弹性模量G=80GP a ，试求最大切应力和最大相对扭转角。
图6-11 题6-8图解：（1）绘扭矩图用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=--=3121，2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=2.122。
绘出的扭矩图如图6-11所示。
（2）由扭矩图可见AB 段扭矩最大，但是由于ABC 圆轴是变截面钢轴，故无法判断危险截面是在AB 段还是BC 段内。
分别计算AB 段、BC 段最大切应力：由式（6-13）得()a a P MP P W T 2.3610751610333311max 1=⨯⨯⨯==-πτ ()a a P MP P W T 9.48105016102.133322max 2=⨯⨯⨯==-πτ由于≤m ax 1τmax 2τ，故全轴最大切应力发生在BC 段，a MP 9.48max 2max ==ττ。
（3）求最大相对扭转角，由式（6-19）得00439311519.0180107532108075.0103180=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-）（）（πππϕP AB BAGI l T00439322701.018010503210805.0102.1180=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-）（）（πππϕP CB CB GI l TC 截面相对A 截面发生最大相对扭转角00022.1519.0701.0=+=+=BA CB CA ϕϕϕ6-9 图6-1所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。
已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。
（1）画出轴的扭矩图。
（2）校核轴的强度。
图6-12 题6-9图解：（1）画扭矩图计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩由式（6-1），可得mN m N n PM mN m N n PM mN m N n PM m N m N n P M DD CC BB AA ⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==371180795509550531180109550955015918039550955010611802095509550用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591；2-2截面的扭矩为m N M M T B A ⋅=-=9022；3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。
绘出的扭矩图如图6-12所示。
（2）强度校核由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。
由式（6-13），有a a a P W T MP =<MP =P ⨯⨯==-40][7.36105016902332max τπτ）（，所以轴满足强度条件。
6-10 如图6-13所示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。
要求： （1）画出轴的扭矩图； （2）求出轴的最大切应力； （3）求出轴的总扭转角。
图6-13 题6-10图解：（1）画扭矩图用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011；2-2截面的扭矩为m N M M T ⋅=-=400212；3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。
绘出的扭矩图如图6-13所示。
（2）由图6-13可见AB 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB 段内。
由式（6-13）得到轴的最大切应力a a P W T MP =P ⨯⨯==-1.121075161000331max ）（πτ （3）求轴的总扭转角，由式（6-19）得004391462.0180107532108021000180=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-）（）（πππϕP AB BA GI l T004392138.018010753210805.1400180=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-）（）（πππϕP CB CB GI l T0043930462.018010753210801200180=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=-）（）（πππϕP DC DC GI l TD 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角0000646.0462.0138.00462.0=++=++=BA CB DC DA ϕϕϕϕ6-11 一钢轴的转速n=240r/min ，传递的功率为P=44kW 。
已知][τ=40MP a ，][θ=1︒/m ，G=80GP a ，试按强度和刚度条件确定轴的直径。
解：钢轴的扭矩m N m N n P T ⋅=⋅⨯==17512404495509550（1）按强度条件确定轴的直径直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：a a P P P d W T 631max 1040][161751⨯=≤⨯==τπτ解得 mm m Td 6.601040161751][163631=⨯⨯=⨯≥πτπ（2）按刚度条件确定轴的直径直径d 2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件：][1803218042θπππθ≤⨯⨯=⨯=d G T GI T P (︒/m)解得 mm m G Td 8.5918013210801751180][324942=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≥πππθπ由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d 取直径d 1和直径d 2中较大的，确定钢轴直径mm d 6.60=。