( x ) =
∞
1 x x2 x3 n , x Q S ( x ) = + + + K , S(0)=0 ∑ 2 2⋅ 3 3⋅4 n = 1 n( n + 1)
g( x ) = x ⋅ S ( x ) = ∑
∞ ∞ 1 1 1 x n +1 ⇒ g ′( x ) = ∑ x n ⇒ g ′′( x ) = ∑ x n −1 = 1− x n = 1 n( n + 1) n =1 n n=1
5n x 2 n 6． ∑ 的收敛半径 R = n n =1
∞
答:
1 5
∞ 2 2n + 1 、 ∑ ∑ 4 n=1 n n =1 7 n − 3 ∞
7、下列四个级数中，
∞ n+1 1 、 、 ( −1)n ∑ ∑ 5 n n =1 n − 2 n =1
发散的是
n+1 5 2n + 1 n+1 答: ∑ ,注 ∑ 5 敛 ⇒Q n − 2 → 1 1 n =1 7 n − 3 n =1 n − 2 n4
Q S( x) =
x x2 x3 + + + K , S (0) = 0, 为确定任意常数,由性质 S(x)在收敛域连续，将上式取极限有 2 2⋅ 3 3⋅4 ln(1 − x ) ln(1 − x ) + C ] ⇒ S (0) = [ − ln(1) + lim + C ] ,得 C=1, x→0 x x
法 2：由条件 xyz=k 有 z =
k 代入原函数求无条件极值. xy
S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0).在 xyz=k 下的最小值. 法 1 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz−k). Fx = y + 2 z + λ yz = 0 1 3 2k ) 3 3 Fy = x + 2 z + λ xz = 0 , 得唯一可能的极值点 ( 2k , 2k , . 解方程组 2 F = 2 x + 2 y + λ xy = 0 z xyz = k
∞
g ( x ) − g (0) = − x − ln(1 − x ), g (0) = 0 ⇒ S ′( x ) =
−1 ln(1 − x ) − ,x ≠0 x x2 ln(1 − x ) + C, x ≠ 0 , x
两端求不定积分(因不包含原点的定积分不易计算): S ( x ) = − ln(1 − x ) +
0
ln(1 − x ) + 1, x ≠ 0 − ln(1 − x ) + ⇒ g( x ) = x ⋅ S ( x ) = x ln(1 − x ) + ln(1 − x ) + x , ⇒ S ( x ) = x 0, x = 0
法 2: S ′( x ) =
∞ ∞ 1 1 x n −1 2 n +1 ′ ′ x ⇒ g ( x ) = x S ( x ) = x ⇒ g ( x ) = xn = , ∑ ∑ ∑ 1− x n=1 n + 1 n=1 n + 1 n=1
∞ ∞
二、计算下列定积分 1.
∫
3 2
x x + 2dx
2..
∫
2 1
t 3 ln tdt
3 3 2 3
解 1 原式=
∫
3 2
( x + 2 − 2) x + 2d ( x + 2) = ∫ ( x + 2) d ( x + 2) − ∫ 2 x + 2d ( x + 2) = .....
2 2 2 1
和直线 x + y = 2 所围成。
四、计算二重积分
∫∫ ( x + y )dxdy ，其中 D 是由曲线 x = y
D
2
解: 曲线交点 (4, −2), (1,1) ⇒
∫
1 −2
dy ∫
2− y y2
y2 ( x + y )dx = ∫ (2 − )dy = 3 −2 2
1
五、1.求曲线 y = 2 x + 3, y = x 2 围成的面积. 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[−1, 3]. 所求的面积为
=1
3
六、z=f(xy , x y); 其中 f 具有连续二阶偏导数,求
2
∂2z ∂x 2
解
zx=f1′⋅y2+f2′⋅2xy=y2f1′+2xyf2′,
zxx=y2[f11′′⋅y2+f12′′⋅2xy]+2yf2′+2xy[f21′′⋅y2+f22′′⋅2xy] =y4f11′′+2xy3f12′′+2yf2′+2xy3f21′′+4x2y2 f22′′ =y4f11′′+4xy3f12′′+2yf2′+4x2y2 f22′′,
∞
解 收敛域 ( − 2 < x <
2) ,设幂级数的和函数为 S(x), 则
∫
x
x
0
S ( t )dt = ∑
x 1 1 2 n−1 ⇒ x ⋅ ∫ S ( t )dt = ∑ n x 2 n x n 0 n =1 2 n=1 2
∞
∞
x2 ∞ x2 x2 = ∑ ( )n = 2 2 = x 2 2 − x2 n =1 1− 2
解 令 F ( x , y , z ) = x + 2 y + z − 2 xyz , 则 Fx′ = 1 −
Fy′ xz − 2 xyz F ′ yz − xyz ∂z ∂z =− x = , =− = ∂x Fz′ Fz′ xyz − xy ∂y xyz − xy
3. 4.
∫ ∫
3 −3 1 0
x 7 9 − x 2 dx =
1 x
2
答＝0，(奇函数在对称区间的积分) （交换积分次序）答
dx ∫
f ( x，y )dy = x 2 + y 2 ，则 dz =
∫
1 0
dy ∫
y 0
f ( x，y )dx
5.设 z = ln
∞
∴ dz =
∂z ∂z xdx ydy dx + dy = 2 + 2 2 ∂x ∂y x +y x + y2
⇒ g ′( x ) − g ′(0) = ∫ g ′′( t )dt = ∫
0 x
x
x
0
dt = − ln(1 − x ), g ′(0) = 0 1− t
⇒ g ( x ) − g (0) = ∫ − ln(1 − t )dt = x ln(1 − x ) + ln(1 − x ) + x , g (0) = 0
A = ∫ (2 x + 3 − x 2 )dx = ( x 2 + 3 x −
−1
3
1 3 3 32 x ) |−1 = . 3 3
2. 求曲线 y = 2 x + 3, y = x 2 围成的几何图形绕 x 轴旋转体积.. 解V = π
2
∫
3
−1
(2 x + 3)2 dx − π ∫ x 4dx = ......
四川大学锦城学院期末复习题
一、填空题 1.
∫ lim
x→0
0 x3
cos( 3 t )dt sin x 3
= lim
−3 x 2 ⋅ cos x = − cos 0 = −1 x→0 3x2
2. 设 x + 2 y + z − 2 xyz = 0 , 求
∂z ∂z _____, _______ ∂x ∂y yz xyz , Fy′ = 2 − xz xyz , Fz′ = 1 − xy xyz ,
解 2.原式=
1 2 t 4 ln t 4 ln tdt = 4∫1 4
−∫
2
1
t3 15 dt = 4 ln 2 − 4 16
三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由
2 1. ∑ ( −1) (条件收敛) n n= 2
n
∞
2.
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
|u | 9n (绝对收敛) lim n + 1 = 0 n →∞ n! | un |
⇒ ∫ S ( t )dt =
0
∞ x 2n − 1 2( n −1) 1 3 2 5 4 1 , x ≠ 0, Q ( ) = = + 2 x + 3 x + L ,∴ S (0) = S x x ∑ 2 n 2− x 2 2 2 2 2 n=1
⇒ S( x) =
九.
1 2 + x2 ,( − 2 < x < 2) ,其中 S (0)= 包含在和函数 S(x) 中. 2 2 (2 − x ) 2
lim S ( x ) = lim[ − ln(1 − x ) +
x→0 x→0
ln(1 − x ) + 1, x ≠ 0 ln(1 − x ) − ln(1 − x ) + Q lim = −1 ⇒ S ( x ) = x x→0 x 0, x = 0
2.
∑
2n − 1 2( n −1) ; x 2n n =1
七、
dy + y = ex ; dx
∞
− dx dx x 解 y = e ∫ ( e x ⋅ e ∫ dx + C ) = e − x ( e 2 x dx + C ) = e − x ( + C )