2.位似图形的性质:因为位似图形是特殊的相似图形,所有位似图形具有相似 图形的所有性质,并且:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于 位似比 ;位似图形周长的比等于 位似比 ;面积比等于 位似 比的平方 .
3.利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小,其步骤如下: (1)以位似中心为射线的端点画射线,并使各条射线分别经过原图形上的关键 点; (2)根据位似比确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点; (3)顺次连接各对应点,则得到原图形的位似图形,由此即可把一个图形放大 或缩小.
bd
n
bd n
a
=② b .
(3)合比性质:如果 a = c ,那么 a b= c d .
bd
bd
4.黄金分割
若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果 AC= BC,
AB AC
那么称线段③ AB 被点C黄金分割.点C叫做线段AB的④ 黄金分割
点,AC与AB的比叫做黄金比,其中 AC= 5 1≈⑤ 0.618 . AB 2
图1
图2
答案 (1)小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.
理由如下:
∵ A'B'= 30 2x = 15 x , A 'D' = 20 2x = 10 x ,且 15 x ≠ 10 x ,
AB 30 15 AD 20 10
15
10
∴ A'B'≠ A 'D' .
以选择题的形式,以裁剪三角形 为问题 情境,考查相似三角形的判定

备考策略:相似三角形的性质与判定是平面几何中的重点内容,因此一直是我省中考的必考内容,但单独考查的题目较少,常与 图形变换、平行四边形等知识相结合进行综合考查,考查的内容以基础知识 为主,预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有太大的变化.
易错二 计算面积时用错相似三角形与面积有关的性质 易错三 判断三角形相似时出现丢解的错误
河北考情探究
考点
年份
题号
分值
考查方式
相似三角形的性质与判 2018
25
10
以解答题的形式,在圆的综合性
题目中
定
以锐角三角函数为载体,考查线
段的比
的知识
2017
7
3
以选择题的形式考查相似三角
形的性
质
2016
15
2
基础知识梳理
考点一 比例线段
1.线段的比 线段的比是两条线段的长度之比.
2.成比例线段 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a∶b=c∶d,那么这四条线 段a,b,c,d叫做成比例线段.
3.比例的性质
(1)基本性质: a = c ⇔① ad =bc(abcd≠0).
bd
(2)等比性质:如果 a = c =…= m(b·d·…·n≠0,且b+d+…+n≠0),那么a c m
题型三 考查相似多边形的性质
该题型主要考查相似多边形的性质,主要内容有:相似多边形的周长之比等于 相似比,相似多边形的面积之比等于相似比的平方,主要考查基础知识,题型 以选择题和填空题为主.
典例3 (2018沧州模拟)在AB=30 m,AD=20 m的矩形花坛四周修筑小路. (1)如果四周的小路的宽均相等,都是x m,如图1,那么小路四周所围成的矩形 A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由; (2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x m、y m,如图2,试问小路 的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形 ABCD相似?请说明理由.
课题27 图形的相似
基础知识梳理
考点一 考点二 考点三 考点四
考点五
比例线段 相似三角形的性质及判定 相似多边形 位似图形
相似三角形的应用
中考题型突破 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
考查比例线段 考查相似三角形的性质与判定 考查相似多边形的性质 考查位似图形的性质 考查相似三角形的应用
易混易错突破 易错一 利用比例的性质时出现错误
应角相等且对应边成比例.
变式训练3 (2017河北沧州东光模拟)如图所示,在矩形ABCD中剪去一个以 AB为边长的正方形后,所剩下的矩形CDEF与原矩形ABCD相似,则原矩形的 长与宽的比是 ( D )
A. 5 1 2
B.3 C.3 5
2
2
D. 5 1 2
答案 D 设矩形的长AD=a,宽AB=b,则DE=CF=AD-AB=a-b. ∵矩形ABCD与矩形CDEF相似,
CD,AD,BC交于点O,则 AO = BO .
DO CO
请利用该结论解答下面的问题:如图2,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD= 75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
答案 过点C作CE∥AB交AD的延长线于E,如图所示.
则 BD = AD .
CD DE
又∵BD=2CD,AD=2,∴ 2CD = 2 ,解得DE=1.
变式训练1 如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且 CD = 1 ,过点D作DE∥BC
AD 2
10
交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF= 3 .
解析 ∵DE∥BC,∴ AD = AE .
AC AB
∵ CD = 1 ,
AD 2
∴ AD = 2 ,
AC 3
(1)⑨ 两角 对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且⑩ 夹角 相等,两三角形相似; (3)三边 对应成比例 ,两三角形相似; (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角 形相似
3.判定两个三角形相似的思路
有平行截线 — —用平行线的性质找等角
有一对等角,找
典例2 (2018湖南株洲中考)如图,Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方 形的边AB和AD,其中AM=AN. (1)求证:Rt△ABM≌Rt△ADN;
(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT= 1 AD,求tan∠ABM的值.
4
答案 (1)证明:∵AB和AD均为正方形ABCD的边, ∴AD=AB, ∵AM=AN, ∴Rt△ABM≌Rt△ADN(HL). (2)由(1)得∠DAN=∠BAM,DN=BM. ∵∠BAM+∠DAM=90°,∠DAN+∠ADN=90°, ∴∠DAM=∠ADN. ∴ND∥AM. ∴△AMT∽△DNT.
CD DE
∵CE∥AB, ∴∠E=∠BAD=75°. 又∠CAD=30°,
∴∠ACE= 1 (180°-∠CAD)=75°.
2
∴AC=AE=3.
名师点拨 本题的求解关键有两点:①根据题意添加辅助线.由于题目中没有 平行线而无法运用平行线分线段成比例定理,因此通过作平行线构造满足该 定理的基本图形,这也是添加辅助线的常用方法;②注意线段的代换.分析求 证结果发现,难以找到AC与其他已知线段的联系,为此需要考虑线段的代换 或比的代换,为此需要证明△ACE为等腰三角形.
∴ BC = CD ,即 a = b ,
EF CF b a b
整理,得a2-ab-b2=0,
解得a1= 12 5 b,a2= 12 5 b(不符合题意,舍去). ∴ a = 5 1.
b2
题型四 考查位似图形的性质
该题型主要考查位似图形的性质,这类题目中,考查直角坐标系中位似图形的 顶点坐标的题目较多,题型以选择题和填空题为主,属于基础题和中档题.
AB AD
∴小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.
(2)∵在矩形A'B'C'D'和矩形ABCD中,
要使∠A=∠A'=∠B=∠B'=∠C=∠C'=∠D=∠D'=90°,
AB=CD,AD=BC,A'B'=C'D',A'D'=B'C',
∴要使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD,只需 A ' B ' = A ' D ' .
考点五 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活中有着广泛的应用,例如利用相似三角形对应 边成比例的性质可以测量某些不容易直接测量的物体的长度或高度.
中考题型突破
题型一 考查比例线段
该题型主要考查比例线段的内容,包括平行线分线段成比例定理,线段的比, 利用线段的比进行计算等.
典例1 (2018河北石家庄模拟)对于平行线,我们有这样的结论:如图1,AB∥
∴ AE
AB
= 23 ,
即 AE
15
= 23 ,解得AE=10.
∵DF∥CE,
∴ AF
AE
= AADC
,
即 AF= AD = 2 ,解得AF= 20 .
10 AC 3
3
∴EF=AE-AF=10- 20 = 10 .
33
答案 10
3
题型二 考查相似三角形的性质与判定
该题型主要考查相似三角形的性质与判定,主要内容有:相似三角形的判定定 理,相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质,相似三角形对应边上的 高、中线、对应角的平分线对应成比例,相似三角形的面积之比等于相似比 的平方等.
变式训练2 (2017秦皇岛模拟)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始,沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC 边以2 cm/s的速度向点C运动,当点P运动到点B时,运动停止,如果P、Q分别从 A、B两点同时出发. (1)问几秒后,△PBQ的面积等于8 cm2? (2)问几秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?