M
N
A
O
A
B
C 1996年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ]
A ．M ＞N ﻩ
B ．M ＝N Ｃ.Ｍ<N D ．不确定
2. 设正整数ａ、m 、n
则这样的a 、m 、n 的取值[ ]
Ａ．有一组 B ．有二组 C .多于二组ﻩ D .不存在
3．如图，Ａ是半径为1的圆O 外的一点，O Ａ＝2，ＡB 是圆O 的切线,B 是切点，弦B Ｃ∥OA ，连结A Ｃ，则阴影部分的面积等于ﻩ[ ]
（A ）
2
9π ﻩﻩﻩ（B ）6
π （
C)6
8
π
+ﻩ ﻩ (D)
4
8
π
-
４．设x ₁、ｘ₂是二次方程x 2+ｘ－3＝0的两个根,那么ｘ₁3-4ｘ₂2＋19的值等于 [ ]
Ａ.-４ B ．8 C .6ﻩ D .0
5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的[ ］
A ．内心 B.外心ﻩ Ｃ．重心 ﻩD ．垂心
６．如果20个点将某圆周２0等分,那么顶点只能在这２０个点中选取的正多边形的个数有[ ]
A .４个ﻩ
B ．８个
C ．1２个
D .24个
二、填空题
1. 已知实数x ₀、y ₀是方程组1||1
y x
y x ⎧=
⎪⎨⎪=+⎩ 的解,则x ₀+ｙ₀＝__＿＿＿_．
2．如图,在△AB Ｃ中，AB =AC ，∠ABN ＝∠MBC ，ＢM =ＮM ， BN =a ,则N 点到边BC 的距离等于_＿_＿_＿．
A B
C D
D ′
B ′
C O
M P A B
C
D E
F
3.设1９９5x 3
＝１996y ３
=199７z 3,
xy ｚ＞0,且
=，则１
x +错误!+错误!＝__＿___．
4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿.
第二试
1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.
２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP .
3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值．
G
O
P
M
A
B
C
D
E
F 1996年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题
1.B
2.A ﻩ 3．B
4.Ｄ ﻩ
5.A
6.C
二、填空题
１
２.
2
3. 1
4. ２
第二试
1. 据题意ｍ＋11=ｎ＋9，且整除ｍn ＋9m +11n +145,
而ｍn ＋9m +11ｎ+145=(ｍ+11)(n ＋9)+４6，故m ＋11,ｎ＋9都整除46,由此得
1214m n =⎧⎨=⎩ ① 或 35
37
m n =⎧⎨
=⎩ ② 在①时，得每人捐款2５元;在②时,每人捐款4７元 综上可知，每人捐款数为2５元或47元.
２. 作AD 、ＢO 的延长线相交于G ,∵ＯE ∥ＧＡ， ∴在△CGA 中有 错误!＝错误! ，
且在△ＢGA 中 错误!＝错误! ，由此可得 错误!=错误! ，
而ＯM 是⊙O 的半径，等于OP ,∴ ＯＦOP =OP
O Ｅ ,∴ △P ＯF ∽△PO Ｅ ，
∴∠ＯPF ＝∠ＯEP
3. 据题意,方程a ｘ3+bx +c =０有两个相异根,都在（－1，0）中,故
a－b＋c＞0, 错误!<1,且b2-4ａc＞0 ①，可见ａ-ｂ+c≥1 ②,且ａ>c ③
所以a＋c≥b1,可得2>1,
∴ａ＞4 ,又b 4 现分别取a、b、ｃ的最小整数5,５,1 经检验，符合题意，∴a＋b＋c=１1最小.。