时，
收敛．
因为对任意的 连续．
易知 I（y）在[a，b]上一致收敛，所以 I（y）在（0，2）内
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9．利用公式 值．[浙江大学研]
解：先证明 ＜b，当 x∈[a，b]时，由于
，计算积分
的
在（0，＋∞）上内闭一致收敛．对任意的 0＜a
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又显然
关于 y 单调递减且一致收敛于 0，故由 Dirichlet 判别法知
在
[δ，＋∞]上一致收敛．
（2）取
，则
由于
所以
，故
在（0，＋∞）上不一致收敛．
8．确定函数 解： 由于
的连续范围．[电子科技大学研]
所以当 y－1＜1 即 y＜2 时，I1 收敛；当 1－y＜1 即 y＞0 时，I2 收敛，故当 0＜y＜2
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第 25 章 含参变量的积分
1．证明 证明：令
在区间（1，பைடு நூலகம்∞）上连续可微．[厦门大学研]
上连续，对一切
，而
收
敛，从而
在[a，b]上一致收敛，因此 F（x）在[a，b]上连续，由[a，
b]的任意性知，F（x）在（1，＋∞）上连续． 又
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显然 f（x，t）
在 a≤x≤b
上连续，
显然
在[e，＋∞）上有界 ；在
上当
时单调趋于 0，
所以
在
上一致收敛，又 F（x）在[a，b]上收敛，所以 F（x）在[a，
b]上可微，由[a，b]的任意性可知，F（x）在（1，＋∞）上可微．
2．求积分 解：由于 所以 记 则 f（x，t）在
之值．[山东大学研] ，
（或
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上连续，且
对一切
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（或[α，1]）上一致收敛． 所以
3．求 解： 方法一：
视 a 为参数令
则
在[0，＋∞）×[0，＋∞）上都连续，因为
及
收 敛 ， 故 根 据 Weierstrass 判 别 法 ，
收敛（a≥0），
所以
＝0．当 x＜0 时，有
所以
＝0．当 x∈（0，1）时，有
从而 处不存在．
．所以
在 x＝0、1
5．设
，求 ．[南京大学、武汉理工大学研]
解：由含参变量积分的可微性知
因此
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故
6．证明：
在[a，＋∞）上一致收敛，但在（0，＋∞）上不一致收敛．[南
又因为 在
上一致收敛（β＞α＞0），于是
所以
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方法二： 由
得到
4．设
，求
．[武汉大学研]
解：本题利用 Leibniz 求导法则．当 x＞1 时，有
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又易知 b]上一致收敛．
再证 由于
收敛，故由 Weierstrass 判别法知
在[a，
在（0，＋∞）上内闭一致收敛．同理当 y∈[a，b]时，
又易知 b]上一致收敛．
由于
收敛，故由 Weierstrass 判别法知
在[a，
所以
．于是由含参量反常积分的积分换序性知
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京师范大学研] 证明：由 Dirichlet 判别法可知
在[a，＋∞）上一致收敛．由于反常积分
收敛，故对任意的正数 ε0 与 M，总存在某个 x＞0，使得
即
现令
，则由上面的不等式知
所以
在（0，＋∞）内不一致收敛．
7．证明：含参变量反常积分
在[δ，＋∞]上一致收敛，其中 δ＞0，但
是在（0，＋∞）内不一致收敛．[武汉大学研] 证明：（1）对任意的 A＞0，当 x∈[δ，＋∞]时，有