f (x) a (x) (x x 你可得出 什么结论 ?
定理
lim f (x) a f (x) a (x) ,
xx0 ( x)
其中, (x) 0 (x x0 , (x )) .
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量. x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量. x0
(3) lim 1 0, x 时, 1 是一个无穷小量.
x x
x
(4) limcos x 0, x 时, cos x 是一个无穷小量.
3.无穷小量的运算法则
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量.
同一个极限过程中的有限个 无穷小量之积仍为无穷小量.
常数与无穷小量之积仍 为无穷小量.
在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.
在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量.
当 x 时,
函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？
因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.
2. 无穷大量与无穷小量的关系
定理 在某一极限过程中
若 f (x) 是一个无穷大量,
则 1 为无穷小量. f (x)
若 f (x) 是一个无穷小量且 f (x) 0, 则 1 为无穷大量. f (x)
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn}: 0, 0, , 0,
不是无穷大量
{xn yn}: 2, 4, 6, 8,
是无穷大量
证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.
证 设 , 为 x x0 时的两个无穷小量, 则
0 ,
1
0,
当
0 |
x
x0
| 1
时,
|
|
,
2
2
0,
当
0 | x x0 | 2
时,
|
| ,
2
取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
| || || | ,
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（1）
—— 一元微积分学
第五讲 无穷小量与无穷大量 极限的运算
授课教师：王利平
主 要 内容
一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 三. 极限的运算法则
一、无穷小量及其运算性质
简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量.
f (x) (x x0 (或x ) ).
( x)
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为正无穷大量. .
换成 f (x) M , 则
lim f (x) , x x0 ( x)
称为负无穷大量. .
例4
(i) y x 2 ,
(ii) y x3 ,
22
即 x x0 时, 是一个无穷小量.
证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.
证 设 f (x) 是 x x0 时的有界量, 即 M 0 和1 0,
使当 x U( x0,1) 时, | f (x) | M .
又设 (x) 0 (x x0) , 则 0, 2 0, 使当
证 因为 lim 1 0 , ( 无穷小量 ) x x
| sin x | 1 x (,) , ( 有界量 )
故 lim 1 sin x 0 . x x
例3
求
lim
x0
x3 x2
4
.
解 由于 lim x3 0 , ( 无穷小量 ) x 0
lim(x2 4) 4 ,
x 0
故
lim
x0
x3 x2
x2
2
(5) lim 0 0,
在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量.
1.无穷小量的定义
定义 0, 若 0 (X 0) , 使当 0 | x x0 | (| x | X ) 时, | f (x) |
成立, 则称 f (x) 当 x x0 (x ) 时,
4
0
.
( 极限不为零 )
二. 无穷大量
1.无穷大量的定义
定义
M 0, 若 0 (或X 0), 当 x U (x0, )
(或 | x | X ) 时, 有
| f (x) | M
成立, 则称 f (x) 为 x x0 (或x ) 时的无穷大量, 记为
lim f (x) 或
x x0
0 | x x0 | 2
时,
|(x) | .
M
令 min{1,2}, 则当 0 | x x0 | 时,
| f (x) (x) | | f (x) | |(x) | M
M
故当 x x0 时, f (x) (x) 为无穷小量 .
例2
证明 lim 1 sin x 0 x x
lim x2 .
x
lim x3 .
x
(iii) y ln x, lim ln x , lim ln x .
x0
x
(iv) y tan x, lim tan x , lim tan x .
x
x
2
2
例5
在某极限过程中,
无穷大量是否一定是无界量 ?
无界量是否一定是无穷大量 ? (iii), (iv) 自己画 画图会更清楚.
3.无穷大量的运算性质
若 lim f (x) , 则 lim | f (x) | .
无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量.
反之不真
在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量.
在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.
例7 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?
考察 {xn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n n, {yn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n1n,
为无穷小量.
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 lim xx0
f
(x)
a,
则
0,
当
0 | x x0
|
时,
| f (x) a | | ( f (x) a) 0 | ,
即当 x x0 时 , f (x) a 是一个无穷小量.
令 (x) f (x) a , 则 (x) 0 (x x0) , 且