滚动测试卷一(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2017辽宁沈阳一模)若P={x|x<4},Q={x|x 2<4},则( )A.P ⊆QB.Q ⊆PC.P ⊆∁R QD.Q ⊆∁R P2.不等式-x 2+|x|+2<0的解集是( ) A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,√33),则该函数的解析式为( ) A .y=x 3B .y=x 13C .y=1x3D .y=x -14.下列判断错误的是( )A.命题“若am 2≤bm 2,则a ≤b ”是假命题B.命题“∀x ∈R,x 3-x 2-1≤0”的否定是“∃x 0∈R,x 03−x 02-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p ∨q 为真命题”是命题“p ∧q 为真命题”的充分不必要条件 5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是( ) A .y=sin xB .y=-x 2+1xC .y=x 3+3xD .y=e |x|6.若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m ],值域为[-254,-4],则m 的取值范围是( )A .(0,4]B .[32,4]C .[32,3]D .[32,+∞)7.设函数f (x )={5x -m ,x <1,2x ,x ≥1,若f (f (45))=8,则m=( )A.2B.1C.2或1D.128.(2017福建宁德一模)已知函数f (x )=e x+e -x,则y=f'(x )的图象大致为( )9.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (-1)+f (-2 017)=( ) A.0B.12C.1D.210.(2017辽宁鞍山一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2.当x>1时,f (x )=1x -1,则关于x 的方程f (x )+2a=0没有负实根时实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1]∪[-12,+∞) B .(0,1)C .(-1,-12)∪(-12,+∞)D .(-2,-12)∪(-12,0)11.已知函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x>0时,不等式f (x )+x ·f'(x )<0成立,若a=30.2·f (30.2),b=(log π2)·f (log π2),c=(log 214)·f (log 214),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c>b>aB .c>a>bC .b>a>cD .a>c>b12.已知函数f (x )=xx -1+sin πx 在[0,1)内的最大值为m ,在(1,2]上的最小值为n ,则m+n=( )A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f (x )=ln x 在点(x 0,f (x 0))处的切线经过点(0,1),则x 0的值为 . 14.(2017江苏,11)已知函数f (x )=x 3-2x+e x-1e x ,其中e 是自然对数的底数.若f (a-1)+f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是 .15.已知函数f (x )={log 2(1-x )+1,-1≤x <0,x 3-3x +2,0≤x ≤a 的值域是[0,2],则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f (x )=x 2+2x ,g (x )=(12)x-m.若∀x 1∈[1,2],∃x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知a ∈R,函数f (x )=log 2(1x+a). (1)当a=5时,解不等式f (x )>0;(2)若关于x 的方程f (x )-log 2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围; (3)设a>0,若对任意t ∈[12,1],函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.19.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B 在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?20.(12分)(2017安徽合肥一模)已知函数f(x)=2a-x 2e x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=e xax2+x+1,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在[1e,e]上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'(x1+x22)<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.B 解析由P={x|x<4},Q={x|x 2<4}={x|-2<x<2},可得∁R P={x|x ≥4},∁R Q={x|x ≤-2或x ≥2},结合选项可知只有Q ⊆P 成立,故选B . 2.B 解析由-x 2+|x|+2<0,得x 2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0, 故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B 解析设幂函数解析式为y=x α,则√33=3α,故α=13,即y=x 13.故选B .4.D 解析A 中,当m=0时,满足am 2≤bm 2,但a 可以大于b ,故命题是假命题,故正确;B 显然正确;C 中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D 中,p ∨q 为真命题,可知p ,q 至少有一个为真,但推不出p ∧q 为真命题,故错误.故选D . 5.C 解析选项A,C 中函数为奇函数,又函数y=sin x 在(0,+∞)内不是单调函数,故选C .6.C 解析y=x 2-3x-4=(x -32)2−254.当x=0或x=3时,y=-4,故32≤m ≤3.7.B 解析∵f (f (45))=8,∴f (4-m )=8.若4-m<1,即3<m ,可得5(4-m )-m=8,解得m=2,舍去. 若4-m ≥1,即m ≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B .8.D 解析函数f (x )=e x+e -x,则y=f'(x )=e x-e -x,因为y=e x是增函数,y=-1ex 是增函数,所以导函数是增函数.故选D .9.D 解析∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x ≤1时,f (x )=x ,∴f (-1)=f (1)=1,f (-2017)=f (2017)=f (1)=1, ∴f (-1)+f (-2017)=1+1=2.10.A 解析∵f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2,∴f (x )的图象关于点(1,1)中心对称,作出其图象如图.∵f (x )+2a=0没有负实根,∴-2a ≤1或-2a ≥2,解得a ≥-12或a ≤-1.故选A .11.A 解析设F (x )=xf (x ),当x>0时,F'(x )=[xf (x )]'=f (x )+xf'(x )<0,即函数F (x )在(0,+∞)内单调递减,又y=f (x )在R 上是偶函数,则F (x )在R 上是奇函数,从而F (x )在R 上单调递减,又30.2>1,0<log π2<1,log 214<0,即30.2>log π2>log 214,所以F (30.2)<F (log π2)<F (log 214),即a<b<c.12.D 解析可知f (x )=x x -1+sinπx=1+1x -1+sinπx. 记g (x )=1x -1+sinπx ,则当x ∈[0,1)时,g (2-x )=12-x -1+sinπ(2-x )=11-x -sinπx=-(1x -1+sinπx)=-g (x ),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f (x )关于点(1,1)中心对称,故m+n=2. 13.e 2解析因为函数f (x )的导数为f'(x )=1x,所以切线斜率k=f'(x 0)=1x 0,所以切线方程为y-ln x 0=1x 0(x-x 0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x 0=2,解得x 0=e 2.14.[-1,12] 解析因为f (-x )=(-x )3-2(-x )+e -x-1e-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.因为f'(x )=3x 2-2+e x+e -x≥3x 2-2+2√e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f (x )在R 上单调递增.因为f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤-f (a-1),即f (2a 2)≤f (1-a ),所以2a 2≤1-a ,2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤12,故实数a 的取值范围是[-1,12].15.[1,√3] 解析先作出函数f (x )=log 2(1-x )+1,-1≤x<0的图象,再研究f (x )=x 3-3x+2,0≤x ≤a 的图象.由f (x )=x 3-3x+2(0≤x ≤a )可知f'(x )=3x 2-3=0,得x=1(x=-1舍去).由f'(x )>0,得x>1;由f'(x )<0,得0<x<1. 故当x=1时,f (x )在x ∈[0,a ]上有最小值f (1)=0, 又f (√3)=2.所以1≤a ≤√3.16.[-52,+∞) 解析∀x 1∈[1,2],∃x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2+2x在[1,2]上的最小值大于等于g (x )=(12)x-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x )=2x-22=2(x 3-1)2≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2+2在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=12+21=3.因为g (x )=(12)x -m 在[-1,1]上单调递减, 所以g (x )min =g (1)=12-m ,所以12-m ≤3,即m ≥-52. 17.解(1)由log 2(1x +5)>0,得1x+5>1,解得x ∈(-∞,-14)∪(0,+∞).(2)1x+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x 2+(a-5)x-1=0, 当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x 1=x 2=-1,经检验,满足题意. 当a ≠3且a ≠4时,x 1=1a -4,x 2=-1,x 1≠x 2. x 1是原方程的解当且仅当1x 1+a>0,即a>2;x 2是原方程的解当且仅当1x 2+a>0,即a>1.于是满足题意的a ∈(1,2].综上,a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}. (3)当0<x 1<x 2时,1x 1+a>1x 2+a , log 2(1x 1+a)>log 2(1x 2+a),所以f (x )在(0,+∞)内单调递减.函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值分别为f (t ),f (t+1).f (t )-f (t+1)=log 2(1t +a)-log 2(1t+1+a)≤1即at 2+(a+1)t-1≥0,对任意t ∈[12,1]成立.因为a>0,所以函数y=at 2+(a+1)t-1在区间[12,1]上单调递增,当t=12时,y 有最小值34a-12, 由34a-12≥0,得a ≥23. 故a 的取值范围为[23,+∞). 18.(1)证明因为f (x+2)=-f (x ),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ). 所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)解当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2=-2x-x 2, 又f (x )是奇函数, 所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2, 所以f (x )=x 2+2x.又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f (x )是周期为4的周期函数,所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x 2-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-6x+8. (3)解f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1.又f (x )是周期为4的周期函数, 所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0. 19.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=2cm.设圆柱的底面半径为r cm,则22πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π·900-x 24π2·x=900x-x34π,其中0<x<30.(2)由(1)知V=900x-x 34π(0<x<30),则V'=900-3x 24π.由V'=900-3x 2=0,得x=10√3,可知V=900x-x 3在(0,10√3)内是增函数,在(10√3,30)内是减函数.所以当x=10√3时,V有最大值.20.解(1)f'(x)=x 2-2x-2ax,当Δ=4+8a≤0,即a≤-1时,x2-2x-2a≥0,f'(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a>-12时,令x2-2x-2a=0,解得x1=1-√2a+1,x2=1+√2a+1.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√2a+1)和(1+√2a+1,+∞),单调递减区间为(1-√2a+1,1+√2a+1).(2)∵f(x)>-1⇔2a-x 2x>-1⇔2a>x2-e x,∴由条件知,2a>x2-e x对∀x≥1成立.令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,∴h'(x)=2-e x.当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,∴h (x )=g'(x )=2x-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴h (x )=2x-e x ≤2-e <0,即g'(x )<0, ∴g (x )=x 2-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴g (x )=x 2-e x ≤g (1)=1-e,故f (x )>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g (x )max =1-e,∴a>1-e2,即实数a 的取值范围是(1-e2,+∞). 21.解(1)当a=0时,函数f (x )=e xx+1的定义域为{x|x ∈R,且x ≠-1},f'(x )=xe x (x+1)2.令f'(x )=0,得x=0.当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.函数f (x )无极大值.(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下: 由题意,函数g (x )=e xx 2+x+1-1. 因为x 2+x+1=(x +1)2+3>0,所以函数g (x )的定义域为R .求导,得g'(x )=e x (x 2+x+1)-e x (2x+1)(x 2+x+1)2=e x x (x -1)(x 2+x+1)2,令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1,当x 变化时,g (x )和g'(x )的变化情况如下:故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0; 当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e 3-1.因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 27-1>0,所以函数g (x )在(1,+∞)内有且仅有一个x 0,使得g (x 0)=0, 故函数g (x )存在两个零点(即0和x 0).22.(1)解由f'(x )=2x-2x+a ,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f (x )=2ln x-x 2+2x. 由f (x )≥2x+m ,得m ≤2ln x-x 2.∵不等式f (x )≥2x+m 在[1e ,e]上有解, ∴m ≤(2ln x-x 2)max .令g (x )=2ln x-x 2, 则g'(x )=2x-2x=-2(x+1)(x -1)x. ∵x ∈[1e ,e],∴当g'(x )=0时,x=1.当1e<x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1). (2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,∴{2lnx 1-x 12+ax 1=0,2lnx 2-x 22+ax 2=0,∴a=(x 1+x 2)-2(lnx 1-lnx 2)x 1-x 2.又f'(x )=2x-2x+a ,∴f'(x 1+x 22)=4x1+x 2-(x 1+x 2)+a =4x1+x 2−2(lnx 1-lnx 2)x 1-x 2.下证4x 1+x 2−2(lnx 1-lnx 2)x 1-x 2<0,即证2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0. 设t=x 1x 2,∵0<x 1<x 2,∴0<t<1.即证μ(t )=2(1-t )t+1+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t )=1t −4(t+1)2=(t -1)2t (t+1)2,又0<t<1,∴μ'(t )>0,∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0, 故4x 1+x 2−2(lnx 1-lnx 2)x 1-x 2<0,即f'(x 1+x 22)<0成立.。