数学名题——蝴蝶定理
过圆O中AB弦的中点M引任意两弦CD和EF， 连接CF和ED交AB弦于P、Q，求证PM=MQ
C

E
M

A
P
Q
B

F

D
分形几何趣谈
在这个世界里，你碰到的将不再是欧几里 得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的 图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂 的自然形体，它们被称为分形（fractal）.
从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的 每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样， 小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了 一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形， 这就是20世纪70年代由美国计算机专家曼德布 罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究 不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很 多领域得到了应用。
（3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意 馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸福三口顺利然 后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。 （4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰 ，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片 叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！
（5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如 春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，烦 恼抛到9霄云外！ （6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心 情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点 小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10 美的祝福。
一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七 湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八 家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次， 今天一定要中。
（1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四 斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财 又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒 果十斤瓜，愿你天天乐开花！ （2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安， 五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同 心，十全十美。
（9）新年到了，想想没什么送给你的， 又不打算给你太多，只有给你五千万： 千万要快乐！千万要健康！千万要平安！ 千万要知足！千万不要忘记我！ （10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰： 猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两 ，快乐万两，笑容万两，愿卿家饱尝幸 福快乐之微笑，钦此！
数学内在美
1、对称美 （一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三 角。 （二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为， 一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形 中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形——圆心 是它的对称中心，原也是轴对称图形——任何一 条直径都是它的对称轴。 （三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综 合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。
9*9＋7＝88 98*9＋6＝888 987*9＋5＝8888 9876*9＋4＝88888 98765*9＋3＝888888 987654*9＋2＝8888888 9876543*9＋1＝88888888 98765432*9＋0＝888888888
1*9＋2＝11 12*9＋3＝111 123*9＋4＝1111 1234*9＋5＝11111 12345*9＋6＝111111 123456*9＋7＝1111111 1234567*9＋8＝11111111 12345678*9＋9＝111111111 123456789*9＋10＝1111111111
海岸线的长度问题
按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是 美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际 权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国 的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》 中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长 度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．
原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形 成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其 长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽 略不能计入在内，设此时得长度L1；如改用米作单位， 结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘 米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L2＞L1；同样的，用厘 米作单位，所得长度L3＞L2＞L1,…．采用的单位越小， 计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大,可以设想，用分 子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文 数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得 无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所 以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线 的特点，需要寻找另外的参量．
“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山” “飞流直下三千尺，疑是银河落九天”， “白发三千丈”
“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含 西岭千秋雪，门泊东吴万里船”， “霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”， “青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”
“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒 江雪”
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数学是一门同人民大众贴得很近的学科， 它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙 宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空 间，而数学则建立起了四维、五维乃至n 维空间，并且，集合论的超限数的空间， 远远超过了通常无穷大的空间，它们都 远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄 伟美。
5 2 2 9 2592 25 25 5 2 25 31 31 1 1 2 11 9 1129 3 3
蒲丰 投针试验
1977年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请 到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先 画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上， 又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一 半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便 仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数， 投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平 行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除 法，2212÷704＝3．142然后宣布：“这就是圆 周率的近似值”他又说：“不信，还可以再试试， 投的次数越多，越准确.”1901年，意大利人拉查 尼投了3408次，得出估计值是3.1415929,已很接 近祖冲之的密率。
• “数学是壮丽多彩，千姿百 态，认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：
“正确地说，数学不仅拥有 真理，而且还拥有极度的 美——一种冷静和朴素的 美，犹如雕塑那样，虽然 没有任何诱惑我们脆弱本 性的内容，没有绘画或音 乐那样华丽的外衣。但是， 却显示了极端的纯粹和只 有伟大的艺术才能表现出 来的严格的完美。”
9*9＝81 99*99＝9801 999*999＝998001 9999*9999＝99980001 99999*99999＝9999800001 999999*999999＝999998000001 9999999*9999999＝99999980000001
1*8＋1＝9 12*8＋2＝98 123*8＋3＝987 1234*8＋4＝9876 12345*8＋5＝98765 123456*8＋6＝987654 1234567*8＋7＝9876543 12345678*8＋8＝98765432 123456789*8＋9＝987654321
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(1) 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数 学的一个动机是以下的公式：

这个公式实在美极了，奇数1、3、5、… 这样的组合可以给出，对于一个数学家来 说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
1 1 1 4 3 5
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在自然界中，大凡美的东西都具 有对称性， 比如花卉、叶片、动物、艺术品、 建筑物等。
• 而在数学中，很多曲线和曲面，比如二 次曲线、双纽线、玫瑰线、雪花曲 线……等等，也具有对称性。
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海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学 家理查逊L．F．richardson）的一篇鲜为人知的文章 中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜 心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的 边界长度的经验公式 L (r)= Kr1-a中的a就可以作为描 述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”， 这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为 曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生 长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态 的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、 科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新 的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．
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在正五边形中，边长与对角线长的比是黄 金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、 在建筑设计中都有广泛的应用。巴黎圣母 院、北京故宫的构图都融入了黄金分割的 匠心；孕育着生命的水，液态的温度范围 是0－100度，其两个黄金分割点之一的温 度为38度左右，正与人体正常体温吻合； 人的脑电图波，若高低频率之比为1：0．6 18时，则是身心愉悦的时 刻．．．．．．真是奇妙无比
（7）在新的一年里，祝你十二个月月月 开心，五十二个星期期期愉快，三百六 十五天天天好运，八千七百六十小时时 时高兴，五十二万五千六百分分分幸福， 三千一百五十三万六千秒秒秒成功
（8）如果一滴水代表一个祝福，我送你 一个东海；如果一颗星代表一份幸福， 我送你一条银河；如果一棵树代表一份 思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！
（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同 数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列， 令人看后叫绝，回味无穷。
1*1＝1 11*11＝121 111*111＝12321 1111*1111＝1234321 11111*11111＝123454321 111111*111111＝12345654321 1111111*1111111＝1234567654321 11111111*11111111＝123456787654321 111111111*111111111＝12345678987654321