x0
x
x B. lim 1
x x0
D. lim sin x 1 x x
A 练习6. 已知
f (x) x 1 tan x
当（
）时，
f (x) 为无穷小量.
A. x 0
C. x
B. x 1
D. x
练习7. 已知 f (x) 1 sin x ，当 x 0 时， x f (x) 为无穷小量．
记为 y = ln x.
数 e 是一个无理数，它的前八位数是： e = 2.718 281 8
3.有关指数运算的知识
(ab)n anbn anm anam
anm an m
4.无穷小量 定义 在某个变化过程中，以0为极限的变量称 为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母
, , 等表示。 性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
练习8. lim x sin x ___1___
x x
练习9. lim x sin x __0____
x0
x
❖第二个重要极限 lim (1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim sin x 1 x0 x
证明
证
sin x
lim
1.
x x0＋
即 sin x x tan x
各式同除以sin x (因为sin x 0),得 1 x 1 , sin x cos x
即 cos x sin x 1. x
x0 3x x0 5x 3
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
推广 为某过程中的无穷小量 , lim (1 ) e 某过程
x x
x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
故 lim sin x 0 x x
lim sin x 1 x0 x
B 练习3：下列等式正确的是（ ）
sin x A. lim 1;
x x
1
C. lim x sin 1;
x0
x
1
B. lim x sin 1;
x
x
1
sin
D. lim x 1 ．
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
❖第一个重要极限 lim sin x ?
x0 x
X
1
0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
0.1 0.99833
0.01 0.99998
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
5.极限的运算法则
(1) lim( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)
(2) lim[ f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(3)
若
limg(x) 0，lim
f (x) g(x)
limf (x) . limg(x)
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x)
例 2 求 lim sin 5x x0 x
解： lim sin 5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x
x0 x
x0 5x
x0 5x
令 5x t, 当 x 0 时,有 t 0
所以 ,原式 5lim sin t t0 t
51 5
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
推广：
lim sin 5x 5lim sin 5x 51 5
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（ ）
x A. lim 1
x0 x
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
sin(x 1) lim[ x1 x 1
1] x 1
lim sin(x 1) lim x1 x 1 x1
1 x 1
1 1 1 11 2
例 4 求 lim x sin 1
x
x
解
lim x sin 1
x
x
sin 1
lim x
x 1
1
x
思考题
lim sin x lim 1 sin x
x0 x
x0 5x
设 为某过程中的无穷小量 ,
lim sin 1 某过程
练习1. 求下列极限:
（1） lim sin 3x x0 x
解：lim sin 3x lim 3sin 3x 3lim sin 3x 31 3
x0 x
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
(1
1
x
)
2.868
2.732
x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
lim(1 1 ) x e
x
x
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
t 0
1
极限 lim sin x x0 x
极限 lim (1
x
1 x
)x
❖预备知识
1.有关三角函数的知识
tan x sin x cos x
sin0 0 cos0=1 | sin x |1 | cos x | 1
2.有关对数函数的知识
ln x loge x
以e为底的指数函数y=ex的反函数 y = logex， 叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简