库仑定律7-1 把总电荷电量为Q 的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M ＝5.98⨯l024kg ，月球的质量m =7.34⨯l022kg 。
（1）求Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q 的值。
解：（1）设Q 分成q 1、q 2两部分，根据题意有 2221r MmG r q q k=，其中041πε=k即 2221q k q GMm q q Q +=+=。
求极值，令0'=Q ，得 0122=-kq GMmC 1069.5132⨯==∴k GMm q ，C 1069.51321⨯==k q GMm q ，C 1014.11421⨯=+=q q Q （2）21q m q M =，k GMm q q =21kGMm m q mq Mq ==∴2122 解得C 1032.61222⨯==kGm q ， C 1015.51421⨯==m Mq q ，C 1021.51421⨯=+=∴q q Q 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q （Q ＞0）放在三角形的重心上。
为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？ 解：Q 到顶点的距离为 l r 33=，Q 与-q 的相互吸引力为 20141rqQF πε=， 两个-q 间的相互排斥力为 220241l q F πε=据题意有 10230cos 2F F =，即 2022041300cos 412rqQl q πεπε=⨯，解得：q Q 33= 电场强度7-3 如图7-3所示，有一长l 的带电细杆。
（1）电荷均匀分布，线密度为+λ，则杆上距原点x 处的线元d x对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度λ=kx ，k 为正常数，求P 点的电场强度。
解：（1）线元d x 所带电量为x q d d λ=，它对q 0的电场力为200200)(d 41)(d 41d x a l x q x a l q q F -+=-+=λπεπεq 0受的总电场力 )(4)(d 4000200a l a l q x a l xq F l+=-+=⎰πελπελ00>q 时，其方向水平向右；00<q 时，其方向水平向左q 0 图7-3q -q-（2）在x 处取线元d x ，其上的电量x kx x q d d d ==λ，它在P 点的电场强度为2020)(d 41)(d 41d x a l xkx x a l q E P -+=-+=πεπε)ln (4)(d 40020al aa l k x a l x x kE lP ++=-+=∴⎰πεπε 方向沿x 轴正向。
7-4一半径为R 的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q ，下半段均匀带电量-q ，如图7-4所示，求半圆中心处电场强度。
解：建立如图所示的坐标系，由对称性可知，+q 和-q 在O 点电场强度沿x 轴的分量之和为零。
取长为d l的线元，其上所带电量为θπθππλd 2d 2d 21d d q R R q l R q l q ====，20d 41d R q E πε=∴ 方向如图y 方向的分量 θεπθθπεcos 2d cos d 41d 20220R q R q E y -=-=j R qj R q E20220202d cos 22επθθεππ-=⨯-=∴⎰7-5一半径为R 的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度。
解：沿半球面的对称轴建立x 轴，坐标原点为球心O 。
在球面上取半径为r 、宽为d l 的环带，如图，其面积为θππd 2d 2d R r l r S ⋅==，所带电荷 θπσσd 2d d R r S q ⋅⋅==d q 在O 处产生的电场强度为，2322023220)(d 2)(d 41d r x xr R r x qx E +=+=θεσπε θsin R r = ，θcos R x =θθθεσd cos sin 2d 0=∴E 因为球面上所有环带在O 处产生的电场强度方向相同，i i E204d cos sin 2εσθθθεσπ==∴⎰7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为σ，平板中部有一半径为R 的圆孔,如图7-6所示。
求圆孔中心轴线上的场强分布。
（提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理） 解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个完整的带电无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。
无穷大平板的电场为 n e E12εσ= 图7-4圆盘激发的电场为 n e R x x E )1(22202+--=εσ，其中n e为平板外法线的单位矢量。
圆孔中心轴线上的电场强度为 n e R x x E E E220212+=+=εσ电通量7-7电场强度为E的匀强电场，其方向与半径为R 的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球面的电场强度通量。
解：作半径为R 的平面S ’与半球面S 构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理0d d d ''=⋅+⋅=⋅=Φ⎰⎰⎰+S SS S S E S E S EE R R E S E S E S SS 22'cos d d πππ=⋅-=⋅-=⋅=Φ∴⎰⎰7-8一边长为a 的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。
现空间中有一非均匀电场j E i kx E E21)(++=，E 1、E 2为常量，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
解：0=z E 0=Φ=Φ∴DEFG OABC⎰⎰==⋅++=⋅=ΦSSABGF a E S E j S j E i kx E S E 22221)(d ])[(d⎰⎰-=-⋅++=⋅=ΦSSCDEO a E j S j E i kx E S E 2221)d (])[(d⎰⎰-=-⋅+=⋅=ΦSSAOEF a E i S j E i E S E 2121)d ()(d⎰⎰+=⋅++=⋅=ΦSSBCDGa ka E i S j E i ka E S E 2121)()(d ])[(d整个立方体表面的电场强度通量 3ka ii=Φ=Φ∑高斯定理7-9有两个同心的均匀带电球面，内外半径分别为R 1和R 2，已知外球面的电荷面密度为+σ，其外面各处的电场强度都是零。
试求：（1）内球面上的电荷面密度；（2）外球面以内空间的电场分布。
解：作一半径为r 的同心球面为高斯面。
设内球面上的电荷面密度为'σ。
（1）2R r >处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有0)4'4(11d 212203=⋅+⋅==⋅∑⎰R R q S E ii Sπσπσεε，得 σσ212)('R R -= （2）由高斯定理011=<E R r图7-821R r R <<21024'1d R S E Sπσε⋅=⋅⎰即 210224'14R r E πσεπ⋅=⋅2022202121220212)(44'rR r R R R r R E εσεσπεπσ-=⋅-=⋅=∴ 方向沿径向反向 7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R 1和R 2，沿轴线方向单位长度的电量分别为λ1和λ2。
（1）求各区域内的场强分布；（2）若λ1＝-λ2，情况如何？画出此情形下的E ～ r 的关系曲线。
解：（1）作一半径为r 、长为h 的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有011=<E R r21R r R <<h S E S1021d λε=⋅⎰h rh E 10212λεπ=⋅∴，得 rrE ˆ2012 πελ=2R r >h S E S )(1d 2103λλε+=⋅⎰ 得 r r E ˆ20213 πελλ+= （2）21λλ-=时，01=E，r rE ˆ2012 πελ=，03=E7-11设半径为R 的球体，电荷体密度ρ ═ kr （r ≤R ），其中k 为常量，r 为距球心的距离。
求电场分布，并画出E ～ r 的关系曲线。
解：作一半径为r 的同心球面为高斯面。
根据高斯定理Rr <402011d 41d 1d kr r r kr V S E rVSπεπερε=⋅==⋅⎰⎰⎰即 402114kr r E πεπ=⋅ 得 rkr E ˆ4021 ε= R r >402021d 41d kR r r kr S E RSπεπε=⋅=⋅⎰⎰即 402214kR r E πεπ=⋅ 得 r rkR E ˆ42042 ε= 7-12一厚度为d =0.5cm 的无限大平板，均匀带电，电荷体密度ρ ═ 1.0⨯10-4C/m 3，求（1）平板内外的电场分布；（2）讨论平板中央以及平板内与其表面相距0.1cm 处的电场强度。
解：（1）设中心平面为S 0。
根据对称性，在距S 0处为x 处对称地取两面积均为S ∆的底面作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直（如图所示），即侧面的电通量为零。
2d x <时S x S E S E S∆⋅=∆=⋅⎰ρε212d 011 ， x E 01ερ=∴122d x >时S d S E S E S ∆⋅⋅=∆=⋅⎰2212d 022ρε ， 02ερd E =∴ （2）平板中央 0=x ，00=∴E平板内与表面相距0.1cm 处，cm 15.0=x4123401069.11085.8105.1100.1⨯=⨯⨯⨯⨯==∴---ερx E V/m 7-13一个电荷体密度为ρ（常量）的球体。
（1）证明球内距球心r 处一点的电场强度为r E3ερ=；（2）若在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场a E3ερ=，式中a 是球心到空腔中心的距离矢量。
证：（1）作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理⎰⎰=⋅V SV S E d 1d 0ρε 即 302344r r E περπ⋅=⋅ r E 03ερ=∴ 矢量式 r E3ερ= 得证（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为ρ和-ρ的电荷球体，形成电荷密度分别为ρ和-ρ的大球体和小球体。
对腔内任一点P （如图），由（1）的结果有大球 r E P 013ερ=； 小球 '302r E Pερ-= a r r E E E P P0213)'(3ερερ=-=+= 得证静电场的环路定理7-14若电场中某一部分电场线的形状是以O 点为中心的同心圆弧。
证明该部分上各点的电场强度都应与该点离O 点的距离成反比，即E 1 r 1 = E 2 r 2。