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二元一次方程组典型例题
【例1】　已知方程组的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值.
【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.
　（１）　由已知方程组消去k ，得x 与y 的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x ，y 的值，最后将x ，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值.
　（２）　把k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k 的方程，便可求出k 的
值.
　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可
求出k 的值.
把
代入①，得
，解得　k=-4.
　解法二：　①×3－②×２，得　17y=k-22，
　解法三：　①+②，得　5x-y=2k+11.　又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.
【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容
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解方程组
＝时，方程无解，则原方程组无解
m≠时，方程解为　将代入③，得
m≠时，
（5）简化系数法
5. 解方程组433
1344
2x y x y -=<>-=<>
⎧⎨
⎩课堂练习
1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：
① ② ③⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ⎩⎨
⎧=-=+1
53153y x y x 2．a 取哪些正整数值，方程组的解x 和y 都是正整数？
⎩⎨
⎧=--=+a
y x a
y x 243523．要使方程组的解都是整数， k 应取哪些整数值？
⎩
⎨
⎧=-=+12y x k
ky x 二元一次方程组应用探索
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表
B 到
C 的距离也是120千米．分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同
时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x 、y 千米/时，则
()3120120x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得40120x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得8040x y =⎧⎨=⎩，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表
现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
五、货运问题
典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其
中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的
载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则
300621200x y x y +=⎧⎨+=⎩，整理，得3003600x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得150150x y =⎧⎨
=⎩，
因此，甲、乙两重货物应各装150吨．
点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．
六、工程问题
例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服
装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限
个位上的数是８，从而此方程的解为：t
　由得；由得
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e 付出的张数最少.
　答：　付款方式有３种，分别是：　付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.　其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，
其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对
4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生.
　（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
　（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，
在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.
　【思考与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生.
根据题意，得
　所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.
（2） 这栋楼最多有学生4×8×45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过　5×2×（120+80）×（1-20%）=1600（人）.　因为 1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.
　答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定.
【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表：
　张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉
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的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.
　解：设张强第一次购买香蕉x 千克，第二次购买香蕉y 千克．由题意，得0<x<25．
　①当0<x≤20，y≤40时，由题意，得　②当0<x≤20，y>40时，由题意，得（与0<x≤20，y≤40相
矛盾，不合题意，舍去）．
　③当20<x<25时，25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y ）=5×50=250<264（不合题意，舍去）.
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.　答： 张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.
　【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事
大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.
【例10】 用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式
两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
　【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数. 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：
　每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 × 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的正方形纸板
数 × 横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数
　每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 × 竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板
数 × 横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数
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　通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.　解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.
　设竖式纸盒做x 个，横式纸盒做y 个. 根据题意，得
　①×4-②，得 ５y=2000，解得 y=400.
　把y=400代入①，得 x+800=1000，解得 x=200.
　所以方程组的解为
　因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.
　答： 竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.。