定积分与微积分基本定理
[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．
【知识通关】
1．定积分的有关概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在
每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n
i ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞
时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定
积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a n
f (ξi )． 在⎠⎛a
b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
图形 阴影部分面积
S ＝⎠⎛a
b f (x )d x
S ＝－⎠⎛a
b f (x )d x
S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c
b f (x )d x
S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛a
b [f (x )－g(x )]d x 2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)；
(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a
b f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a
c f (x )
d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a <c<b )． 3．微积分基本定理
一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．
为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，
即⎠⎛a
b f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． [常用结论]
函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有
(1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0
a f (x )d x . (2)若f (x )为奇函数，则⎠
⎛a －af (x )d x ＝0. 【基础自测】
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a
b f (t )d t .( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若⎠⎛a
b f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图象，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.⎠⎛0
1e x d x 的值等于( ) A ．e
B ．1－e
C ．e －1
D .12(e －1) C
3．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )
A ．10t 20
B ．5t 20
C .103t 20
D .53
t 20 B
4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．
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【题型突破】
定积分的计算
1．(2019·玉溪模拟)计算⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x 的值为( ) A .34
B .32＋ln 2
C .52
＋ln 2 D ．3＋ln 2 B
2．(2018·吉林三模)⎠⎛0
1|x －1|d x ＝( ) A ．1
B ．2
C ．3
D .12 D
3．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，
则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A .34
B .45
C .56
D ．不存在
C
4.⎠⎛0
π(sin x －cos x )d x ＝________. 2 [方法总结] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．
(4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．
2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．
定积分的几何意义
【例1】 (1)(2019·皖南八校联考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值，设f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x ，x ⎝
⎛⎭⎪⎫x ≥14，则由函数f (x )的图象，x 轴与直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积为________．
(2)(2019·黄山模拟)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43
，则k ＝________. (1)
712＋ln 2 (2)2
[方法总结] 利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形.
(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.
(4)计算定积分，写出答案.
易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.
(1)曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________．
(2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
(1)76 (2)94
定积分在物理中的应用
【例2】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2 (2)(2019·渭南模拟)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，
沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()
A. 3 J
B.23
3J
C.43
3J D
．2 3 J
(1)C(2)C
[方法总结]定积分在物理中的两个应用
(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝
⎠⎛
a
b v(t)d t.
(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到
x＝b时，力F(x)所做的功是W＝
⎠⎛
a
b F(x)d x.
物体A以速度v＝3t＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.
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