U max RX * T
2

L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
2 2 n n
2

L 0
x A x X
数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一 瞬时的位移、速度为
y x, t Y x sin t y x, t Y x cos t t
★不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为
2 y x, t 1 L T t x A x dx 0 2 t 2 2 y x, t 1 L dx U t 0 EJ x 2 2 x
2
★根据机械能守恒定 律 Tmax U max 得
2
U max 2 dx L x A x Y 2 x dx
上式表明，当所假设振型函数 Y(x)恰好是某一阶实际振型函数 时，即可计算出该阶固有频率的精确解。 事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地 给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。
对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系 数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！
★在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续 系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计 算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。 ★无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的 振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频 率作简谐运动。
★求连续系统固有频率常用的近似方法： 瑞利法；瑞利—里兹法； 假定振型法
3.7.1 瑞利法
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School of Mechanical Engineering, Yanshan University
瑞利法 ( 能量法 ) 就是根据机械能守恒定律得到的计 算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适 用于连续系统。 根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常 数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即
L 2 2 * ★ 在静平 衡位置 ， T x A x Y x d x T max 2 0 梁具有最大动能 1 L * T x A x Y 2 x dx —称为参考动能。 2 0 2 2 d Y x 1 L ★在偏离平衡位置最 U EJ x dx max 2 0 2 远距离处，梁具有最 dx 2 2 大弹性势能 L d Y x
n n
2
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★在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例 如，有一试探振型函数 X(x)，满足边界条件，同时具有 各阶导数。 ★若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的 瑞利商
3.7
计算固有频率的近似方法
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d 2Y ( x) 例如：梁横向振动的 d 2 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx 振型函数方程为
Tmax U max
对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满 足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势 能，就可对基频进行估算。
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★如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函
y x, t 1 L y x, t Y x cos t T t 0 x A x dx 2 t t
2
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U max d Y x 1 L EJ x dx 2 0 2 d x
2 2
2
L
x A x Y 2 x dx
2
2 m Y i xi
n
dY xi 1 1 2 kiY xi k i 2 i 1 2 i 1 dx
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★当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的
动能。若在xi(i=1,2,…,n)处有集中质量mi (i=1,2,…,n) ，则 梁的最大动能为
2 0 2 i1 ★当梁上xi(i=1,2,…,n)处有刚度ki(i=1,2,…,n)和扭转刚度 ki(i=1,2,…,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为 Tmax
2
x dx mi X 2 xi
i 1
n
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★瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。 ★由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠 度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频 的近似值。 ★可以证明，如果试探函数 X(x) 与系统振型函数 Y(x) 相 差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二 阶小量。