第七节动能和动能定理现代战斗机和攻击机的起飞时速，大都在250～350 km/h，如果自行加速滑跑，至少需要2 000～3 500 m长的跑道．但目前世界上最大的航空母舰飞行甲板也不过为330 m．在这种情况下，舰上的飞机怎样做到起飞无误呢？其办法是借用弹射器帮助它上天．现代航空母舰上多用蒸汽弹射器，其原理就是用蒸汽做动力，推动活塞和弹射装置运动做功，舰载机在活塞带动和自身的动力作用下，如箭一样弹射上天空，加上迎风速度，飞机会迅速达到离舰起飞的速度．1．理解动能的概念，会用动能的定义进行计算．2．掌握动能定理的内容，公式及适用条件．3．会用动能定理处理单个物体的力学问题．4．知道动能定理可用于变力做功和曲线运动，能用动能定理求解变力做的功．1．动能．(1)定义：物体由于运动而具有的能量． (2)表达式：E k ＝12mv 2．(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳.1 J ＝1_N ·m ＝1_kg ·m 2/s 2． (4)特点：①动能是状态量，具有瞬时性，物体在某一状态的动能由物体的质量和该状态下物体的速度大小共同决定．②物体的动能具有相对性，由于对不同的参考系，同一物体的速度有不同值，所以在同一状态下物体的动能也有不同值．一般地如无特别说明，物体的动能均是相对于地面的．③动能是标量，只有大小没有方向，与物体的速度方向无关． ④由表达式可以看出动能在任何情况下都是正值，即E k >0. 2．动能定理(1)动能定理的推导：如图所示，质量为m 的物体，在恒力F 作用下，经位移l 后，速度由v 1增加到v 2. 根据牛顿第二定律有F ＝ma ， 根据运动学公式有：l ＝v 22－v 212a.外力做的总功W ＝Fl ＝12mv 22－12mv 21．(2)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的增量． (3)表达式： ①W ＝E k2－E k1． ②W ＝12mv 22－12mv 21.(4)两点说明：①如果物体受到几个力的共同作用，式中W 为合外力所做的功，它等于各力做功的代数和.②如果外力对物体做正功，物体的动能增加，外力对物体做负功，物体的动能减小． (5)适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况．动能定理和图象的综合应用一、方法指导利用物体的运动图象可以了解物体的运动情况，要特别注意图象的形状、交点、截距、斜率，面积等信息．动能定理经常和图象问题综合起来，分析时一定要弄清图象的物理意义，并结合相应的物理情境选择合理的规律求解．二、典例剖析(多选)如图甲所示，静止在水平地面的物块A ，受到水平向右的拉力F 作用，F 与时间t 的关系如图乙所示，设物块与地面的静摩擦力最大值f m 与滑动摩擦力大小相等，则( )A．0～t1时间内F的功率逐渐增大B．t2时刻物块A的加速度最大C．t2时刻后物块A做反向运动D．t3时刻物块A的动能最大解析：0～t1时间内，F<f m，物块没动，v＝0，由P＝F·v知力F的功率为零，A错；在t2时刻F最大，由牛顿第二定律有F－f＝ma知加速度最大，B对；此时物体速度方向不变，C 错；t3时刻前合外力做正功，动能增大，t3时刻之后外力做负功，动能减小．t3时刻动能最大，D对．答案：BD1．从空中某一高度同时以大小相等的速度竖直上抛、竖直下抛两个质量均为m的小球，不计空气阻力，在小球落至地面的过程，它们的(C)A．动能变化量不同，速度变化量相同B．动能变化量和速度变化量均相同C．动能变化量相同，速度变化量不同D．动能变化量和速度变化量均不同2．若物体在运动过程中受到的合外力不为零，则(D)A ．物体的动能不可能总是不变的B ．物体的加速度一定变化C ．物体的速度方向一定变化D ．物体所受合外力做的功可能为零3．(多选)质点在恒力作用下，从静止开始做匀加速直线运动，则质点的动能(AD ) A ．与它通过的位移成正比 B ．与它通过的位移的平方成正比 C ．与它运动的时间成正比 D ．与它运动的时间的平方成正比4．一质量为1 kg 的物体被人用手由静止向上提升1 m ，物体的速度是2 m/s.下列说法中错误的是(g 取10 m/s 2)(C )A ．提升过程中手对物体做功12 JB ．提升过程中物体克服重力做功10 JC ．物体的动能增加了12 JD ．物体的动能增加了2 J5．在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为(C )A ．v 0＋2ghB ．v 0－2gh20＋2gh) 20－2gh)一、选择题1．甲、乙两物体质量的比M 1∶M 2＝3∶1，速度的比v 1∶v 2＝1∶3，在相同的阻力作用下逐渐停下，则它们的位移比x 1∶x 2是(B )A ．1∶1B ．1∶3C ．3∶1D ．4∶1解析：由E k ＝12mv 2得两物体的动能之比E k1∶E k2＝1∶3，而根据动能定理－Fx 1＝－Ek ，所以x 1∶x 2＝E k1∶E k2＝1∶3，B 正确．2．如图所示，质量为m 的物体静止于倾角为α的斜面体上，现对斜面体施加一水平向左的推力F ，使物体随斜面体一起沿水平面向左匀速移动x ，则在此匀速运动过程中斜面体对物体所做的功为(D )A ．FxB ．mgxcos αsin αC ．mgxsin αD ．0解析：由于物体做匀速运动，其处于平衡状态．物体动能和势能在运动过程中都不发生变化，故根据动能定理知合外力对物体做功为零．而重力做功为零，所以斜面体对物体做功为零，故应选D.3．在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速运动，当速度达到v m 后，立即关闭发动机直至静止，v －t 图象如图所示，设汽车的牵引力为F ，摩擦力为f ，全程中牵引力做功为W 1，克服摩擦力做功为W 2，则(BC )A ．F ∶f ＝1∶3B ．W 1∶W 2＝1∶1C ．F ∶f ＝4∶1D ．W 1∶W 2＝1∶3解析：由v －t 图象知F －f ＝ma 1，a 1＝v m ，f ＝ma 2，a 2＝v m3，解得：F∶f＝4∶1，由动能定理：W 1＋W 2＝0，W 1∶W 2＝1∶1.4．人用手托着质量为m 的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离x 后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与人手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为(D )A ．mgxB ．0C ．μmgxD ．mv 2/2解析：物体与手掌之间的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力在零与最大值之间取值，不一定等于μmg.在题述过程中，只有静摩擦力对物体做功，故根据动能定理，摩擦力对物体做的功为W ＝mv 2/2.5．2011年2月10日，全国中学生足球赛在广州市番禺明珠足球广场揭幕. 比赛时，一学生用100 N 的力将质量为0.5 kg 的足球以8 m/s 的初速度沿水平方向踢出20 m 远，则该学生对足球做的功至少为(B )A ．200 JB ．16 JC ．1 000 JD ．2 000 J解析：忽略阻力，由动能定理得，学生对足球所做的功等于足球动能的增加量，即W ＝12mv 2－0＝16 J ，故B 正确．6．如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆的内侧与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧．BC 水平，其距离为d ＝0.50 m ，盆边缘的高度为h ＝0.30 m ，在A 处放一个质量为m 的小物块并让其自由下滑，已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 面与小物块间的动摩擦因数μ＝，小滑块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B 的距离为(D )A ．0.50 mB ．0.25 mC ．0.10 mD ．0 m解析：对小物块从A 点出发到最后停下来的整个过程用动能定理，有mgh －μmgl＝0，l ＝hμ＝错误!m ＝3 m ，而d ＝0.5 m ，刚好3个来回，所以最终停在B 点．故正确答案为D.7．两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为1∶2，速度之比为2∶1.设两车与地面的动摩擦因数相等，则当两车紧急刹车后，滑行的最大距离之比为(D )A ．1∶2B ．1∶1C ．2∶1D ．4∶1解析：对汽车用动能定理得－μmgl＝0－12mv 2，所以滑行的距离与v 2成正比，故汽车滑行的最大距离之比l 1∶l 2＝4∶1，故正确答案为D.8．质量为m 的物体从地面上方H 高处无初速度释放，落在水平地面后砸出一个深为h 的坑，如图所示，则在整个过程中，下列说法不正确的是(AC )A ．重力对物体做功为mgHB ．物体的重力势能减少了mg(h ＋H)C ．外力对物体做的总功不为零D ．地面对物体平均阻力大小为mg(h ＋H)/h解析：整个过程：W G ＝mg(H ＋h)，A 错，B 正确；由动能定理知W G －W f ＝0，C 错，D 正确． 9．如图所示，固定斜面倾角为θ，整个斜面分为AB 、BC 两段，AB ＝2BC.小物块P(可视为质点)与AB 、BC 两段斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2.已知P 由静止开始从A 点释放，恰好能滑动到C 点而停下，那么θ、μ1、μ2间应满足的关系是(B )A ．tan θ＝μ1＋2μ23B ．tan θ＝2μ1＋μ23C ．tan θ＝2μ1－μ2D ．tan θ＝2μ2＋μ1解析：由动能定理得mg·AC·sin θ－μ1mgcos θ·AB －μ2mgcos θ·BC ＝0，则有tan θ＝2μ1＋μ23，B 项正确．二、非选择题10．人骑自行车上坡，坡长l ＝200 m ，坡高h ＝10 m ，人和车的总质量为100 kg ，人蹬车的牵引力为F ＝100 N ．若在坡底时车的速度为10 m/s ，到坡顶时速度为4 m/s(g 取10 m/s 2)，求：(1)上坡过程中人克服阻力做多少功？(2)人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远？解析：(1)人蹬车上坡时，牵引力F做正功，阻力做负功，重力做负功，设人克服阻力做功为W，则由动能定理F·l－mgh－W＝12mv′2－12mv2，W＝F·l－mgh－⎝⎛⎭⎪⎫12mv′2－12mv2＝14 200 J.(2)设人在坡上行驶的距离为l′，阻力做功与距离成正比，即克服阻力做功W＝l′lW，冲上坡的高度h′＝l′lh，由动能定理－W′－mgh′＝0－12mv2，即l′lW＋mgl′lh＝12mv2，解得l′＝12mv2lW＋mgh＝41.3 m.答案：(1)14 200 J (2)41.3 m11．质量m＝1 kg的物体，在水平拉力F的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4 m 时，拉力F停止作用，运动到位移是8 m时物体停止，运动过程中E k－s的图线如图所示，g ＝10 m/s2，求：(1)物体和平面间的动摩擦因数；(2)拉力F的大小．解析：(1)在运动的第二阶段，物体在位移x2＝4 m内，动能由E k＝10 J变为零，由动能定理得－μmgx2＝－E k，故动摩擦因数μ＝E kmgx2＝101×10×4＝.(2)在运动的第一阶段，物体位移x1＝4 m，初动能E k0＝2 J，根据动能定理Fx1－μmgx2＝E k－E k0，所以F＝ N.答案：(1) (2) N。