屈曲时可确定 y1和 y2的比值
1
1
y2 y1
FP kl FP
1.36 0.367
(FP FP1) (FP FP2 )
1.36
0.367
位形图
22
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr.
解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平衡
状态的两重性出发列平衡方程。
A EI= B EI= C EI= D
他们的共同特点是从加载到失稳过 程中结构变形的性质发生突变，产 生了两种性质截然不同平衡路径。
6
第二类失稳的基本特征
是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。 失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点， 该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。
FP
FP
l
FPcr
O
非完善体系
解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP
EI1=
D
FP
D
FP
h
表能B 明 的ElI势 二A能 阶为 变ElI驻 分值为C 且零B位的移内有力A非准零则解在C的本能质3E量上l I 特是A征相与同势的3El I
δEP 0
dEP
d
( 6EI l
FPh)
0
d2EP
d 2
6EI l
FP h 0
不稳定平衡
3
结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不 稳定的平衡状态，称为失稳。保证结构在正常使用的 情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。
结构的失稳类型
第一类失稳（分支点失稳） 第二类失稳（极值点失稳）
4
第一类失稳的基本特征
结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支
点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，
值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征 值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。
26
二、能量法
依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。
势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的 位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变 分等于零（δEP =0）。
该驻值条件等价于平衡条件
16 结构的稳定计算
1
§16.1 两类稳定问题概述
结构中的某些受压杆件， 当荷载逐渐增大时，除 了可能发生强度破坏外， 还可能在材料抗力未得 到充分发挥之前就因变 形的迅速发展而丧失承 载能力，这种现象称失 稳破坏，其相应的荷载 称为结构的临界荷载。 压杆的实际承载能力应 为上述两种平衡荷载中 的最小者。
33
§16.3 无限自由度体系的临界荷载
引入假定：
1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变； 2 材料是线弹性的； 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。
k
x
OAy
MO 0
FP lsinθ FR lcosθ 0
FR kΔ klsinθ
FP klcosθlsinθ 0
第一解： θ 0
第二解： FP klcos 13
FP
II 不稳定
FPcr
I 稳定
θ0
大、小挠度理论 临界荷载相同
FP kl
FP klcos
(2) 小挠度理论 (1) 大挠度理论
例题：静力法求图示体系的临界荷载FPcr. 解：体系的失稳形态可用B，C处的位移y1，y2确定，从临界平
衡状态的两重性出发列平衡方程。
EI= l
EI= l
k FP
C
2FP
2k B
A
ky1 k
C
2ky2 2k
B
A
FP
mB 0
y1
FP ( y1 y2 ) kly1 0
2FP mA 0
y2
4 由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图； 5 最小特征值即临界荷载。
25
多自由度体系失稳的基本特点：
1 多自由度体系的静力平衡方程是代数方程； 2 具有n个自由度体系的失稳时共有n个特征对，即有n
个可能失稳形态； 3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称
或反对称的； 4 真实的临界荷载是n个特征值中的最小者，其它特征
保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要 考察体系总势能的二阶变分状态：
δEP 0 &
δEP 0 &
δEP 0 &
δ2EP 0
稳定平衡
δ2EP 0
随遇平衡
δ2EP 0
不稳定平衡 27
变形体系势能： EP U UP = 荷载势能 + 变形势能
EP EP (a1, a2 , , an )
称分支点失稳。
FP
FP
FP < FPcr时，杆件仅产生压
II 不稳定
FPcr
0
缩变形。轻微侧扰，杆件微 弯；干扰撤消，状态复原 （平衡路径唯一）。
l
完善体系
I 稳定
0
O
FP ≥FPcr时，杆件既可保持 原始的直线平衡状态，又可 进入弯曲平衡状态（平衡路 径不唯一）。
5
发生第一类失稳的还有：
q
FP
FP
关于广义坐标的总势能驻值条件：
δEP
EP a1
δa1
EP a2
δa2
EP an
δan
0
由广义坐标变分的任意性
EP 0 ai
关于广义坐标
(i 1, 2,L n) ai 的齐次方程
广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是 临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。
28
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr
• 当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷 载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。
• 非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。 实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说 失稳都属于第二类失稳。
• 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比 较复杂，但却是精确解。
O
0.1 0.2 0.3
16
(2) 小挠度理论
FP
kl 1
θ
ε
ε
kl
θ
ε
FP B
k
l
A
FP/kl
1.0
ε＝0
ε＝0
0.8
0.6
0.4
FPcr kl
0.2
θ
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
17
分析结论
• 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。
FP 0 kl 2FP
kl FP1 3
y1 1 y2
FP2 kl
y1 1 y2
kl FPcr min(FP1, FP2 ) 3
1 1
1
1
24
计算步骤：
1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位 置的一个可能变形状态；
2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力 图；
3 建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析 的特征方程；
初始缺陷使得开始加载杆件 便处于微弯状态，挠度引起 附加弯矩。随荷载增加侧移 和荷载呈非线性变化，且增 长速度越来越快。荷载达到 一定数值后，增量荷载作用 下的变形引起的截面弯矩的 增量将无法再与外力矩增量 相平衡，杆件便丧失原承载 能力。
7
发生第二类失稳的情况：
FP
FP
q
FP
FP
他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的 性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。
31
EP 0 y1 EP 0 y2
势能驻值条件
(kl 2FP ) y1 FP y2 0 FP y1 (kl 2FP ) y2 0
特征向量方程组
kl 2FP
FP 0
FP kl 2FP
特征方程（非零解条件）
kl FP1 3 FP2 kl
特征值
y1 1 y2 y1 1 y2
解：从临界平衡状态的能量特征出发
D FP
D
FP
EI1=
D
FP
h
B EI A EI C B A
l
l
C 3EI A
l
3EI
l
U
1 2
k
2
1 2
6EI l
2
UP
FP h(1
cos )
1 2
FP h
2
系统总势能
EP
U
UP
1 6EI (
2l
FPh) 2
29
例题：用能量法求图示结构的临界荷载FPcr
k
k
FP
l
l
l
y1
y2
FxA=FP
k
k
FP
FyA=FPy1/l FRB=ky1
FRC=ky2
FyD=FPy2/l
23
MC 0
左
(kl 2FP ) y1 FP y2 0
MB 0
右
FP y1 (kl 2FP ) y2 0
kl 2FP
FP
kl
FP 2FP
y1 y2
0 0
kl 2FP FP
2
所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。
如小球受到干 扰后仍能恢复 到原先的平衡 位置，则称该 状态为
稳定平衡
球在三个位置都能 处于平衡，但受到 干扰后表现不同：
如小球受到干 扰后可停留在 任何偏移后的 新位置上，则 称该状态为
随遇平衡
如小球受到干 扰后失去回到 原先的平衡位 置的可能性， 则称该状态为