三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
x
x
E
x
y
E
x
z
E
4
则可得：
x
x
x x
1 E
x
y
z
同理可得：
y
1 E
y
x
z
z
1 E
z
x
y
对切应力分量与切应变的关系，有：
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
5
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
G
yz
yz
G
zx
zx
G
14
主应变2为：
2
E
1
3
0.3 210109
44.3
20.3106
34.3106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
10
§10-5 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
11
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
z
E
x
y
xy
1 G
xy
6
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，：1 231
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 1
3 3 2
二向应力状态：
设 3 0, 有
1
2
3
1 E
应力与应变之间的关系演示文 稿
优选应力与应变之间的关系
3）空间应力状态：
y
dy
x xy
dxzxzyxxyyzzzxxyyzzyyxzxdzxyzx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
x , y , z ; xy , yz , zx
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
2
2
1
1
3
1
1
E
2
E
1
1 E
1
2
3
3
3
E
12
2
1
1 E
1
2
3
1
2
1 E
2
3
1
3
3
1 E
3
1
2
13
3、广义胡克定律的一般形式
x
1 E
[
x
(
y
z )]
x
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
(
x
y )]
xy
xy
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
2 0
即为平面应力状态，有
1
1 E
1
3
3
1 E
3
1
9
联立两式可解得：
1
E
1
2
1
3
210109 1 0.32
240
0.3160106
44.3MPa
3
E
1
2
3
1
210109 1 0.32
160
0.3 240106
20.3MPa
1
2
1 E
2
1
E
1
2
7
可见，即使3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
G
E
21
8
例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两 主 应 变 值 为 1=240×10-6 ， 3=–160×10-6 。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为
正，反之为负。
对应的六个应变分量，
x , y , z , xy, yz , zx
3
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：