【巩固练习】 一、选择题1．已知函数22()n n f n n n =-⎧⎨⎩当为奇数时当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100a a a a ⋯＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．102002．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11112n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A.1012B.912 C.110D.153．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)=0n x y n +++在y轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．94．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a ＞，80a ＜，则下列结论正确的是( ) A ．78S S ＜B ．1516S S ＜C ．130S ＞ S 13＞0D ．150S ＞5．数列{}n a 是等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21二、填空题6. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 7．求数列114⨯，147⨯，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = . 8．已知函数()232f x x x ＝－，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N *)均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a +=，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________． 9．设函数()21123n n f x a a x a x a x -⋯＝＋＋＋＋，若已知1(0)2f =，且数列{a n }满足()2*1()n f n a n ∈N ＝，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________.10．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，，成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 三、解答题11. 求下列各数列的前n 项和n S ：⑴ 12，34，58，…，212n n -，；⑵ 1，3a ，25a ，…，()1(21)n n a a --∈R ，；⑶ 222212...1(2)3(4)(1)n n ----，，，，，，.12.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 13. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2) 11222n n n S S S +<14. 已知数列{}n a 的前n 项的和n S 满足1lg lg(2)(1)lg n n S b n n b +=+---(1)b >. （1） 求通项n a ；（2）当4n ≥时，对任意的n *∈N 都有不等式1n n a a +>成立，求实数b 的取值范围； （3）当4n ≥时，存在0n *∈N 使得不等式1n n a a +≤成立，求实数b 的取值范围. 【答案与解析】1. 【答案】B【解析】由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.2. 【答案】D 【解析】∵1111n n n n a a a a -+-=-，∴112n n n n a aa a -++=， 11211n n n a a a -+=+，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12， 公差为12的等差数列，∴112n n a =，∴1015a =. 3. 【答案】B【解析】数列{a n }的前n 项和为1111111111223(1)2231n n n n +++=-+-++-⨯⨯++ 191110n =-=+，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0，所以其在y 轴上的截距为－9. 4. 【答案】C【解析】因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；15115815()1502S a a a =+=<，选项D 错误；13113713()1302S a a a =+=>. 5. 【答案】C【解析】由题意可知，数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为11101a a <-，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.6.【答案】1222n n ++-【解析】12121(22)(22)...(22)(22...2)2222n n n n S n n +=++++++=++++=+- 7．【答案】31nn + 【解析】1111447(32)(31)n S n n =+++⨯⨯-+8. 【答案】10【解析】由S n ＝3n 2－2n ，得a n ＝6n －5， 又∵13111()26561n n n b a a n n +==--+， ∴111111111(1)()()(1)2771365612612n T n n n ⎡⎤=-++++-=-<⎢⎥-++⎣⎦， 要使11(1)26120mn -<+对所有n ∈N *成立， 只需1202m ≥，∴m ≥10，故符合条件的正整数m ＝10. 9. 【答案】1n n + 【解析】由1(0)2f =得112a =.由f (1)＝n 2a n 得a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝n 2a n ，① 所以当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1②，①－②得a n ＝n 2a n －n 2a n －1－a n －1＋2na n －1，(n 2－1)a n ＝(n 2－2n ＋1)a n －1，于是(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 即111n n a n a n --=+. 因此3241123111231123451(1)n n n a a a a n a a a a a a n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=++， 而111(1)1n a n n n n ==-++， 所以11111122311n nS n n n =-+-++-=++. 10. 【答案】16(41)3n- 【解析】设等差数列的公差为d ，则由题意，得2n ＋4＝2＋(n ＋1)d ，解得d ＝2，于是log 2a 1＝4，log 2a 2＝6，log 2a 3＝8，…，从而a 1＝24，a 2＝26，a 3＝28，….易知数列{a n }是等比数列，其公比214a q a ==，所以424116(41)413n nn S ⋅-==--．11. 【解析】⑴∵135721248162n n n S -=+++++， ∴111112222211121122481622222n n n n n n n n S S +-+---=+++++-=+--， 故2121322n n nn S --=--. ⑵21135(21)n n S a a n a -=++++-， ①当0a =时，1n S =当1a =时，2[1(21)]135(21)2n n n S n n +-=++++-==.当0a ≠且1a ≠时，23135(23)(21)n n n a S a a a n a n a -••=++++-+- ②由①-②得：∴22()1(21)1(1)n nn a a n a S a a •---=+--.⑶ 当n 为奇数时， 当n 为偶数时， 22n n+=-. 12. 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =. 由条件可知0n a >,故13q =.由12231a a +=得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为n a =1()3n .（Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-.故12112()(1)1n b n n n n =-=--++,12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++.所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+.13. 解：（1）在条件中，令1n =，得2111122a a S a +==，1101a a >∴= ，又由条件22n n n a a S +=有21112n n n a a S ++++=， 上述两式相减，注意到11n n n a S S ++=-得 100n n n a a a +>∴+> ∴11n n a a +-=所以， 11(1)n a n n =+⨯-=，(1)2n n n S +=所以22221(1)1(1)2224n n n a a n n n n S +++++=<⋅=（2）因为(1)1n n n n ++(1)222n n +<<，所以 121223(1)222n n n S S S ⨯⨯+=+++222L <21222n +==； 12222222nn S S S >+++=. 14. 【解析】（1）21111(1)2,2(3)(2)n n n n n b n b n S a n n bb n b +--⎧-=+-⎪=∴=⎨---≥⎪⎩， （2）当4n ≥，1b >时，1n n a a +>恒成立12133n b n n -⇔>=+--恒成立， ∴3b >.（3）当4n ≥时，存在0n N *∈使得不等式1n n a a +≤成立⇔ (1)[(3)(1)]0b n b n ----≤有解1,b >∴11,3n n ->-故2113b n <≤+-有解 21(1)33Max b n ⇔<≤+=-.。