2019-2020学年广东省深圳市红岭中学高一上学期第一学段考试数学试题及答案一、单选题1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<，则()R C M N ⋂等于（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,1) C ．(1,0]- D ．(1,1)-【答案】C【解析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集. 【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2．设命题:,x p x R e x ∀∈>，则p ⌝是（ ） A ．,x x R e x ∀∈≤ B ．000,xx R e x ∃∈< C ．,x x R e x ∀∈< D ．000,xx R e x ∃∈≤【答案】D 【解析】【详解】由题意知，全程命题的否定是特称命题，且只否定结论， 所以p ⌝：000,x x R e x ∃∈≤.故选: D. 3．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错． 【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ） A ．x y z << B ．z x y << C ．z y x << D ．y z x <<【答案】C【解析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数x y e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x=在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．函数()ln(34)x x f x =-的定义域为（） A ．40)3(log ， B ．30)4(log ， C ．()0-∞， D ．(0)+∞，【答案】C【解析】由题意知对数括号里面的值应340x x ->，求解不等式即可。

【详解】令34>x x ，即314⎛⎫> ⎪⎝⎭x，解得0x <. 【点睛】本题考查对数中真数大于0，以及指数不等式的解法，通过图像单调性求解即可。

7．已知函数()2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为[)0,+∞B ．()f x 是偶函数，递增区间为(],1-∞C ．()f x 是奇函数，递减区间为[]1,1-D ．()f x 是奇函数，递增区间为(],0-∞ 【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性，再分段判断函数的单调性即可. 【详解】因为函数的定义域为R 且()()()22f x x x x x x x f x -=-+=--=-，所以函数为奇函数，此时()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩易知函数在(],1-∞-、[)1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查分段函数的奇偶性、单调性问题，属常规考题，难度不大. 8．已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值．【详解】 解：函数23x y a-=+中，令20x -=，解得2x =，此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()a yf x x ，则24a =，解得2a =； 所以2()f x x =， 所以()()2339f ==，()333log l 9og 2f ∴==．故选D ．本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题．9．若函数()sin ln(f x x ax =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4±【答案】B【解析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=对应项系数相同可得方程求得结果. 【详解】()f x 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin ln sin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴=恒成立，即：222141x a x +-= 24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型. 10．若函数2()22f x x ax b =--的图象总在x 轴上方，则（ ） A ．2a b +> B ．12a b -<-C ．124a b +>D ．124a b +<【解析】根据二次函数图像总在x 轴上方，利用特殊点的函数值，求出正确选项. 【详解】由于二次函数图像总在x 轴上方，故110482af b ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，化简得1224b +<，故选D.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，属于基础题. 11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：①()()1f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，fx Tf x对任意的x R =恒成立；④存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33,C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形.其中真命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【解析】根据所给的定义，运用分类讨论的方法、取特殊值法进行逐一判断即可. 【详解】①∵当x 为有理数时，()1f x =；当x 为无理数时，()0f x =， ∴当x 为有理数时，()()()11f f x f ==； 当x 为无理数时，()()()01f f x f ==，即不管x 是有理数还是无理数，均有()()1f f x =，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=，故②正确；③若x 是有理数，则x T +也是有理数； 若x 是无理数，则x T +也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f x Tf x对x ∈R 恒成立，故③正确；④取1x =20x =，3x =，可得()10f x =，()21f x =，()30f x =，∴,03A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1B，3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，恰好ABC ∆为等边三角形，故④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了分类讨论思想，属于中档题.二、填空题 13．若函数()21121x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()2f f =______. 【答案】2【解析】根据分段函数解析式代入计算可得. 【详解】 解：()21121x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()2212f ∴== ()()()221112f f f ∴==+=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题. 14．已知函数()1f x x =+在区间[),a +∞是增函数，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[)1,-+∞【解析】当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，从而区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】∵函数11111x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨---⎩，（），＜，函数f （x ）=|x+1|在区间[a ，+∞）是增函数，当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，∴区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，即a≥-1， ∴实数a 的取值范围是[-1，+∞）． 故答案为[-1，+∞）． 【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．15．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______. 【答案】36【解析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得.【详解】 解：43m n k ==4log m k ∴=，3log =n k20m n mn +=≠211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n = 2log 3log 41k k ∴+= 2log 3log 41k k ∴+=()log 941k ∴⨯=36k ∴=故答案为：36 【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题. 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()20f x f x +-=.若当[)0,1x ∈时，()21x f x =-，则12log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为_____. 【答案】12-【解析】根据题意，由奇函数的性质可得()1222log 6log 6(log 6)f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而由对数的运算性质可得22222223(log 6)(2log 6)log log log 332f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合函数的解析式分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，则1222log 6(log 6)(log 6)f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭又由()f x 满足()(2)0f x f x +-=，即()(2)f x f x =--22222223(log 6)(2log 6)log log log 332f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又由当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，则2322331log 211222log f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则122231log 6(log 6)log 22f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式，属于中档题．三、解答题17．已知函数()(]()[)x 6x 1.5f x 3x x 1.51x 2x 1，，，，，，∞∞⎧--∈--⎪=∈-⎨⎪+∈+⎩．（1）画出函数f （x ）的图象；（2）由图象写出满足f （x ）≥3的所有x 的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f （x ）的值域（直接写出结果）．【答案】（1）见图像；（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）9.2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭， 【解析】分段作出函数的图像，结合图像求解解集和值域问题. 【详解】(1）f （x ）的图象如图所示：（2）（-∞，-9]∪[1，+∞）；（3）92∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题，利用图像求解不等式和值域，侧重考查数形结合的思想. 18．（1()()414421320.25lg 25lg 2lg 0.122--⨯++-； （2）已知函数()2352f x x x =-+，解方程()54x f =.【答案】（1）23；（2）5log 2【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算计算可得； （2）代入得到方程()()2355520x x ⨯-⨯-=解一元二次方程，再根据对数与指数的关系计算可得. 【详解】 解：（1()()414421320.25lg 25lg 2lg 0.122--⨯++- 1412320.52lg 25lg 2lg10-=-⨯++-()230.5lg5l 4g 21=⨯++-- ()232lg 521=+⨯+32=（2）()2352f x x x =-+，()54x f =则()()2355520x x ⨯-⨯-=()()2351520xx ⎡⎤∴⨯+-=⎣⎦52x ∴=5log 2x ∴=【点睛】本题考查分数指数幂的运算、对数的运算，属于基础题. 19．设集合11{|()8}22xA x =<<，{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(4,1)AB =-（2）[0,2]【解析】(1)将3a =代入B ,求得B ,再求得AB ;(2)将问题转化为集合B 是集合A 的真子集,再根据真子集关系列式可得. 【详解】（1）由已知可得(3,1)A =-，(4,2)B =--，∴(4,1)AB =-．（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集，∵(1,1)B a a =---+，∴1311a a ---⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+⎩，∴02a ，∴实数a 的取值范围是[0,2]． 【点睛】本题考查了集合的运算,集合之间的关系以及充分必要条件,属中档题. 20．已知()e exx x m f =-是定义在[]1,1-上的奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断()f x 的单调性并用单调性定义证明；（3）若()()2120f a f a -+≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）单调递减，证明见解析；（3）1222a.【解析】1）利用奇函数的定义和性质利用(0)0f =进行求解即可．（2）判断函数的单调性，并利用定义法，设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】解：（1）由()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数．(0)10f m ∴=-=，解得1m =，当1m =时，()e e 1x x f x =-1()()x xf x e f x e ∴-=-=-，()f x 为奇函数，符合题意．（2）由（1）知()e e 1x x f x =-，则()f x 在[]1,1-上单调递减； 证明：设任意的[]12,1,1x x ∈-且12xx <()()1212121212e e e +e e e e 111e 1x x x x x x x x f x f x ⎛⎫=--=- ---⎪⎝⎭ ()()2112121222e e e e e e e ex x x x x x x x -=-+()()212112e e e e e 1ex x x x x x -+=[]12,1,1x x ∈-且12x x <21e e x x ∴>，1e >0x ，2e 0x >()()120f x f x ∴->所以()f x 在[]1,1-上单调递减.（3）由（1）（2）知函数()f x 在[]1,1-上单调递减的奇函数， 则不等式2(1)20()f a f a -+，2(1)(2)f a f a ∴--则2211112112a a a a --⎧⎪-⎨⎪--⎩，得022112a a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩或，解得122a．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用奇函数(0)0f =的性质建立方程以及利用进行和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，属于中档题． 21．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f xg x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解； 当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥. 又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．22．已知函数()2log f x x =，函数()232log g x x =-.（1）若函数()()()2F x g x f x λ⎡⎤=-⎣⎦，1,8x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为16-，求实数λ的值；（2）当1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2322ln f x g T --≤的解集为∅，求实数T 的取值范围.【答案】（1）32-或8；（2）210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】（1）换元2log t x =，可得出3t ≥-，可得出关于t 的二次函数()24129y t t λ=-++在区间[)3,-+∞上的最小值为16-，然后对该二次函数图象的对称轴与区间[)3,-+∞的位置关系进行分类讨论，可求出该函数的最小值，可解出实数λ的值；（2）由题意得出不等式2ln x x T -+≤在区间1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，可得出2ln T x x <-+对任意的1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，构造函数()2h x x x =-+，求出该函数在区间1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可求出实数T 的取值范围. 【详解】（1）令2log t x =，因为1,8x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以3t ≥-．设()y F x =，则()()2y g x f x λ=⎡⎤-⎣⎦，化简得()24129y t t λ=-++，3t ≥-，当1238t λ+=≥-，即36λ≥-时，有()2449121616λ⨯⨯-+=-，解得32λ=-或8λ=；当1238t λ+=<-，即36λ<-时，有()36312916λ+++=-，解得973λ=-（舍去）． 因此，实数λ的值为32-或8； （2）不等式()2322ln f x g T --≤可化为222log log22ln x x T -≤，即2ln x x T -+≤．因为当1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2322ln f x g T --≤的解集为∅， 所以当1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式2ln x x T -+≤的解集为∅， 则不等式2ln T x x <-+对任意的1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()2h x x x =-+，1,28x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则函数()y h x =在区间11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()min 2422h x h ==-+=-，所以ln 2T <-，从而210T e <<，因此，实数T 的取值范围是210,e ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查对数型函数最值的求解，同时也考查了利用不等式在区间上无解求参数的取值范围，第（1）问的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的最值来求解，第（2）问的关键就是将不等式无解转化为不等式恒成立来求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。