毕业设计（论文）题目: 关于某些线性几何不等式的研究与推广学生姓名徐毅学号**********专业数学与应用数学班级20041251指导教师王卫东评阅教师张渊渊完成日期2008年 5 月8 日学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

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（请在以上相应方框内打“√”）作者签名：年月日导师签名：年月日目录摘要 (4)关键词 (4)前言 (4)一、平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式 (5)二、有关外接圆和内切圆半径等的线性几何不等式 (11)1、欧拉不等式及其一种简捷证明 (11)2、关于,R r与半周长p的锐角三角形不等式 (12)三、关于三角形面积的线性几何不等式及其推广 (13)1、Oppenheim不等式的多边形推广 (13)2、Oppenheim不等式的高维推广 (14)四、三角形中线的线性不等式及其推广 (15)五、关于三角形线性几何不等式的猜想 (17)六、一个线性几何不等式的修正 (18)七、总结 (18)致谢 (18)参考文献 (19)关于某些线性几何不等式的研究与推广学生：徐毅指导教师：王卫东三峡大学理学院摘要：三角形中的几何不等式研究已取得了非常丰富的成果，本文主要围绕已知的线性几何不等式进行研究，给出三角形中一些新的线性几何不等式，并包含了作者的某些猜想。

而三角形中的某些线性几何不等式直接推广到n维单形并不是一件容易的事，因而在推广到四面体中乃至n维单形时还有许多几何不等式值得探讨和研究。

因此本文在这个方面做了些工作，从而进一步发掘和证明了一些线性几何不等式。

Abstract：The research of the triangle geometric inequality has obtained very rich of the outcomes. This paper studies mainly some new linear triangle geometric inequalities, focusing on the linear geometric inequalities which are known, and it also includes some conjectures of the author. But it is not an easy task to directly extend the linear triangle geometric inequality to the n-simplex, thus there are many geometric inequalities worthing exploring and researching when we extend the linear geometric inequality to the tetrahedron and the n-simplex. So this paper has done some work in this field and further explored and proved some linear geometric inequalities.关键词：三角形；线性几何不等式；四面体；n维单形Key words：triangle；linear geometric inequality；tetrahedron ；n-simplex前言几何不等式是一个魅力无穷的数学分支,20世纪70年代以来不等式的研究成果超过了前300年的六、七倍，不等式的一些专题——几何不等式，它的研究得到了蓬勃发展。

几何不等式目前已有许多专著，国内外出版的数学杂志，特别是美国数学月刊，大量刊登了各种几何不等式的论文。

20世纪90年代以来，由中国科学院成都计算机研究所杨路研究员研究开发的不等式型机器证明软件“BOTTEMA”的问世和不断升级，为证明和发现新的几何不等式提供了强有力的工具，刘保乾先生等借助这种软件已经发现和证明了几千个三角形几何不等式。

不等式的方法在迅速扩大，“国际一般不等式会议”每2—3年就举行一次，并出版会议文集。

我国在初等几何不等式研究方面取得了在国际上居于领先水平的一系列成果，国内形成了以杨学枝、刘保乾、陈计等为代表的中国几何不等式的研究小组，在高维几何不等式研究方面，国内主要以杨路、张景中、苏花明、冷岗松、杨世国、张含芳、匡继昌、单墫等为代表。

其中杨路教授和张景中院士在距离几何不等式的研究方面做了许多开创性工作，研究成果居于世界领先地位。

在杨—张的带领下，中国出现了一批研究几何不等式的精英，形成了“中国学派”，取得了居于国际领先地位的一些成果。

目前，几何不等式在三角形里面取得非常丰硕的成果，而在四面体中乃至n 维单形体中也取得很大成果和突破。

几何不等式的研究不仅兼顾了中学数学教学和各类数学竞赛的需要，对中学数学的竞赛和教学有较好的指导性，而且其在大学数学教学与研究中仍占有十分重要的地位。

从证明方法上看，许多几何不等式的证明要用到高等数学的工具，充分体现了初等数学与高等数学在思想方法上的继承性和相互渗透性。

线性几何不等式在几何不等式中具有十分重要的地位，它不仅形式简单优美，而且在几何不等式证明中有着较广泛的应用， 如著名的Erdos-Mordell 不等式、联系三角形中主要度量元素（边长，高，中线，内角平分线，内切圆、外接圆半径等）的线性不等式。

本文主要从平面三角形中已知的主要线性几何不等式，联系三角形高、中线、内角平分线的线性几何不等式出发，发现新的线性几何不等式，如三角形的内切圆、外接圆半径与半周长，平面上一动点p 至ABC ∆三顶点距离之和与内角平分线长之和的关系探讨等；对平面三角形中已知的某些线性几何不等式进行不同角度（边数和维度）的推广，例如：给出在n 维单形中的相应几何不等式，如著名的Euler 不等式的高维推广形式，联系三角形高、中线、内角平分线等的某些线性不等式的高维推广。

一、 平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式设P 为ABC ∆平面上一动点，用ABC ∆的常见几何元素来表示的和式PA PB PC ++的下界是一个值得研究的几何不等式问题。

本文恒用记号,,a b c ;,,a b c l l l ;,,a b c t t t ;,,a b c h h h ;,,;,,a b c a b c k k k g g g 分别表示ABC ∆的三边长、中线、内角平分线、高、类似中线和过 Gergonne 的 Ceva 线长；,,,p R r S 分别表示ABC ∆的半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积；I 表示ABC ∆的内心，∑ 表示循环求和，例如a a b c =++∑。

本节应用 Fermat 问题的结论，证明了平面上一动点p 至ABC ∆三顶点距离之和的一个较强的线性不等式，由之导出几个推论，下面先给出几个引理。

引理1.1 设P 是ABC ∆平面上一动点(Fermat 问题的结论)．(I) 当 2max(A,B,C)3π≤时，有PA PB PC ++ （1）(II)当A >23π 时 ，有 PA PB PC ++b c >+ （2） 引理 1.2[1] 在ABC ∆中，若最大顶角不大于ϕ（3πϕπ≤≤），则对于任意实数[]1,1μ∈-，总有22222222(1cos sin )42cos (sin sin sin )38(sin sin )2222p t R t Rr t r ϕϕϕϕϕμϕϕμϕμ⎡⎤⎡⎤≥+++--+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （3）其中 121min (sin cos ),2(2sin )22t ϕϕϕ--⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭（4） 当且仅当ABC ∆为正三角形或者为最大顶角等于ϕ的等腰三角形时，(3)式取等号。

引理 1.3 在ABC ∆中 ，若2max(A,B,C)3π≤ 时，有21)1)p R r ≥+ （5）当且仅当ABC ∆为正三角形或者为最大顶角等于23π的等腰三角形时，(5)式取等号。

证明：在（4）中，取2,3πϕμ==，得1212min (sin cos),2(2sin )1333t πππ--⎧⎫=--=⎨⎬⎩⎭将23,312πϕμ==，1t = 代入（3）式得22213(5(44p R Rr r -≥++++即 2241)1)]p R r ≥+上式开方即得不等式(5)，引理1.3获证。

在本文里，我们用到了类似中线的概念，所谓类似中线是指三角形的任意一个顶点（如A ）与其对边（如BC ）上的一点D 的连线AD 满足222a bc AD l b c =+ 的线段；我们将该类似中线AD 记作a k ，其中a l 为a k 相对应的中线。

引理 1.4 在ABC ∆中，有222222a b c a b c at bt ct ak bk ck ++≥++ （6）证明 : 根据 22()()()aa b c b c a bc t b c +++-=+ ，222222222(22)()a b c a b c k b c +-=+ 2222222222222222222[()()()2()()()]()()a aabc b c b c a b c bc b c b c a bc b c at ak b c b c ++-+-++++-=++ 22222222222[()()()]()()()abc b c b c a b c bc b c b c b c ++-++=-++ ； 2222222222222[()()()]()()()a babc a c a c b c a ca bt bk c a a c a c ++-++-=-++ ； 2222222222222[()()()]()()()c cabc a b a b c a b ab ct ck a b a b a b ++-++-=-++ ； 所以不等式(6)等价于 22222222222()()()()0()()b c b c a b c bc b c b c b c ++-++-≥++∑ （7） 不妨设 a ≥ b ≥ C ，则易证222222()()()c a c a b c a ca ++-++2232222()()()0c c a a c c a ca a b =+++++->； 222222()()()a b a b c a b ab ++-++2232222()()()0b a b a b a b ab a c =+++++->； 又易证222222()()b c a c b c c a --≤++，所以欲证(7)式 ，只需证 222222222222222222()()()()()()0()()()()a c b c a b c bc a c a c b a c ac b c b c a c a c ++-++++-+++>++++ 上式化简等价于2222222222222222222()()()()()()()()()()0b c c a b c a c a b c bc c a a c b a c ac b c b c ++++-++++-++++>2222222222222222()()[2()()()()][()()()()]0b c a c b c c a a c a b b c abc a c a c a b b c b c ⇔++++-+-+-+++++> 22222222()()[222)[()]b c a c a b ab ca bc c a b ⇔++++++--322223223222()()()[()(())]c a b c b c a c abc a b c b a b ++++++-+-2422332222222[622()][()()2()][()]0abc c a b ac bc c a b abc a b a ab b c a b c a b +++++-++++++-->最后一步显然成立 ，也即(7)、(6)式成立，从而引理1.4获证。