平面连杆机构优化设计
一、问题描述
平面连杆机构是由所有构件均由低副连接而成的机构，四杆机构是最常用的平面连杆机构。
一般情况下，四杆机构只能近似实现给定的运动规律或运动轨迹，精确设计较为复杂。
在四杆机构中，若两连架杆中的一个是曲柄，另一个是摇杆，则该机构为曲柄摇杆机构。
曲柄摇杆机构可将曲柄的连续转动转变为摇杆的往复摆动。
设计一曲柄摇杆机构(如图1所示)。
已知曲柄长度l 1=100mm ，机架长度l 4=500mm 。
摇杆处于右极限位置时，曲柄与机架的夹角为φ0，摇杆与机架的夹角为ψ0。
在曲柄转角φ从φ0匀速增至φ0+90°的过程中，要求摇杆转角()200π
32
ϕϕψψ-+
=。
为防止从动件卡死，连杆与摇杆的夹角γ只允许在45°~135°范围内变化。
图1 机构运动简图
二、基本思路
四杆机构的设计要求可归纳为三类，即满足预定的连杆位置要求、满足预定的运动规律要求、满足预定的轨迹要求。
本案例中，要求曲柄作等速转动时，摇杆的转角满足预定运动规律()00E π
32
ϕϕψψ-+
=。
优化设计时，通常无精确解，一般采用数值方法得到近似解。
本案例将机构预定的运动规律与实际运动规律观测量之间的偏差最小设为目标，由此建立优化设计数学模型，并运用MATLAB 优化工具箱的相关函数进行求解。
三、要点分析
优化设计数学模型的三要素包括设计变量、目标函数和约束条件。
依次确定三要素后，编写程序进行计算。
1.设计变量的确定
通常将机构中的各杆长度，以及摇杆按预定运动规律运动时，曲柄所处的初始位置角φ0列为设计变量，即
T
04321T 54321)()(ϕl l l l x x x x x ==X (1)
考虑到机构各杆长按比例变化时，不会改变其运动规律，因此在计算可取l 1为单位长度，而其他杆长则按比例取为l 1的倍数。
若曲柄的初始位置对应摇杆的右极限位置，则φ0及ψ0均为杆长的函数，即
4
212
32
42210)(2)(cos arc l l l l l l l +-++=ϕ (2)
4
32
32
422102)(cos arc l l l l l l --+=ψ (3)
因此，设计变量缩减为3个独立变量，即
T
432T 321)()(l l l x x x ==X (4)
2.目标函数的建立
以机构预定的运动规律观测量ψE i 与实际运动规律观测量ψi 之间的偏差平方和最小为指标来建立目标函数，即
min )()(12E →-=∑=m
i i i f ψψX (5)
式中，m 为输入角的等分数；ψE i 为预期输出角，ψE i=ψE (φi )；ψi 为实际输出角。
由图2可知：
⎩⎨
⎧<≤+-<≤--=)
π2π(π)
π0(πi i i i i i i ϕβαϕβαψ (6)
32
22322arccos l l l i i i ρρα-+= (7)
42
12422arccos l l l i i i ρρβ-+= (8)
i i l l l l ϕρcos 2412421-+= (9)
(a) 0≤φi <π (b) π≤φi <2π
图2 曲柄摇杆机构的运动学关系
3. 约束条件的确定
(1) 曲柄摇杆机构应满足曲柄存在条件，可得
0)(211≤-=l l g X (10)
0)(312≤-=l l g X (11) 0)(413≤-=l l g X (12) 0)(32414≤--+=l l l l g X (13) 0)(43215≤--+=l l l l g X (14) 0)(42316≤--+=l l l l g X (15)
(2) 连杆与摇杆的夹角应在γmin 和γmax 之间，即
02)(arccos )(max 322
4232271≤-+-+=γl l l l l l g X (16)
02)(arccos )(3
22
12322min 84≤--+-=l l l l l l g γX (17)
四、具体步骤
1. 选择设计变量
已知l 1=100mm ，l 4=500mm ，且φ0和ψ0不是独立参数，它们可由下式(2)、式(3)求出，即
)100(1000250000)100(cos
arc 22
3220l l l +-++=ϕ 3
2
32201000250000)100(cos
arc l l l --+=ψ
所以该问题只有两个独立参数l 2和l 3，故设计向量为
T 32T 21)()(l l x x ==X
2. 建立目标函数
将输入角分成30等分，并依次取30个观测点ψ1, ψ2, ..., ψ30，得目标函数
∑=-=30
12E )()(i i i f ψψX
式中：i i i βαψ--=π
2
2
12
2232223222arccos x r x x r l r l l r i i i i i -+=
-+=α i i i i i r r l r l l r 1000240000
arccos
2arccos 24212
42+=-+=β i
i i l l l l r ϕϕcos 100000260000cos 2412
421-=-+=
()200E π
32
ϕϕψψ-+
=i i 3. 确定约束条件
约束函数按曲柄存在条件及对传动角的限制来建立，得
0100)(11≤-=x g X
0100)(22≤-=x g X
0600)(213≤--=x x g X
400)(214≤--=x x g X
0400)(125≤--=x x g X
160000414.1)(212
2216≤--+=x x x x g X
0414.1360000)(212
2217≤---=x x x x g X
4. MATLAB 程序及优化结果
这是一个具有2个设计变量、7个不等式约束条件的优化设计问题。
应用MATLAB 软件的优化工具箱的fmincon 函数对上述优化问题求解。
(1) 编写m 文件Objfun.m 定义目标函数。
function f=objfun(x) l1=100； l4=500；
th0=acos(((100+x(1))^2-x(2)^2+250000)/(1000*(100+x(1))))； ps0=acos(((100+x(1))^2-x(2)^2-250000)/(1000*x(2)))； f=0；
for th=th0:pi/2/30:th0+pi/2
r=(10000+250000-2*100*500*cos(th))^0.5；
a=acos((r^2+x(2)^2-x(1)^2)/(2*r*x(2)))； b=acos((r^2+240000)/(1000*r))；
ps=pi-a-b；
pse=ps0+2/(3*pi)*(th-th0)^2；
f=f+(ps-pse)^2；
end
(2) 编写m文件confun.m定义约束。
function [c，ceq]=confun(x)
c(1)=100-x(1)；
c(2)=100-x(2)；
c(3)= 600-x(1)-x(2)；
c(4)= x(1)-x(2)-400；
c(5)= x(2)-x(1)-400；
c(6)= x(1)^2+x(2)^2-1.414*x(1)*x(2)-160000；c(7)= 360000-x(1)^2-x(2)^2-1.414*x(1)*x(2)；ceq=[]；
(3) 编写m文件run.m求解计算。
x0=[400 400]；
options=optimset('LargeScale'，'off')；
[x,fval]=fmincon(@objfun，x0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@confun)
(4) 运行m文件run.m，得最优解X*=(412.8926mm, 232.2417mm)，f(X *)=0.0076 mm2。
五、问题拓展
满足预定运动轨迹的优化设计，要求机构在运行过程中，连杆上的某点(分析点)尽可能沿着给定的曲线运动。
设计时，连杆分析点坐标可由机构杆长和夹角表示。
以分析点的预定轨迹观测点坐标值与实际轨迹观测点坐标值之间的偏差平和最小为指标来建立目标函数，并列出传动角要求、曲柄存在条件以及杆长尺寸限制等约束条件。