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第一章 1.1 1.1.2
高考调研
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思考题 1 在△ABC 中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则 AC ＝________.
【解析】 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝ 3.
【答案】 3
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第一章 1.1 1.1.2
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2，
由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)
＝8－4 3.∴c＝ 6－ 2.
∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝ 23.又 0°<A<180°，∴A＝30°.
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探究 1 本题是已知两边及夹角解三角形．用正弦定理求角 时，必须注意讨论解的情况，结合三角形大边对大角的性质，由 于三角形中至少有两个锐角，那么小边对的角一定是锐角．在解 三角形问题时，应根据题目中给定的条件，灵活地选择正弦、余 弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
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方法二 由方法一知：cosA＝bc， 由正弦定理，得bc＝ssiinnCB，∴cosA＝ssiinnCB. ∴sinCcosA＝sinB＝sin[180°－(A＋C)]＝sinAcosC＋ cosAsinC. ∴sinAcosC＝0，∵A、C 是△ABC 的内角，∴sinA≠0. ∴只有 cosC＝0，∴C＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．
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(2)在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cosA·sinB ＝sinC，试确定△ABC 的形状．
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【解析】 方法一 (角化边)由正弦定理，得ssiinnCB＝bc.
由 2cosA·sinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb. cosA＝c2＋2bb2c－a2，∴2cb＝c2＋2bb2c－a2. 即 c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3b2，∴4b2－c2＝3b2，∴b＝c.
∴a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
题型三 已知三边解三角形
例 3 在△ABC 中，已知 a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和 sinC.
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【解析】 ∵a>c>b，∴A 为最大角． ∴cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12.
又∵0°<A<180°，∴A＝120°.∴sinA＝sin120°＝
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形，
∴a＝3.
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第一章 1.1 1.1.2
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探究 2 三角形中已知两边和一角，有两种解法．可比较两 种解法，从中体会各自的优点，从而摸索出适合自已思维的解题 规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于 a 的等量关系建立方 程，运用解方程的方法求出 a 边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
题型二 已知两边及一边的对角解三角形 例 2 △ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，角 C 和边 a.
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第一章 1.1 1.1.2
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【解析】 方法一 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB， 得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos30°. ∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6. 当 a＝3 时，A＝30°，∴C＝120°. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sinA＝asibnB＝6×3 12＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°.
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第一章 1.1 1.1.2
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(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
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第一章 1.1 1.1.2
3 2.
由正弦定理，得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143.
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
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第一章 1.1 1.1.2
Hale Waihona Puke 高考调研新课标A版 ·数学 ·必修5
探究 3 (1)求 sinC 也可用下面方法： cosC＝a2＋2ba2b－c2＝722＋×372×－352＝1114，∴C 为锐角． sinC＝ 1－cos2C＝ 1－11142＝5143. (2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
高考调研 方法二 由 b<c，B＝30°，
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b>csin30°＝3 3×12＝323知本题有两解．
由正弦定理，得 sinC＝csibnB＝3
33×12＝
3 2.
∴C＝60°或 120°.
当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得
a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6.
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授人以渔
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题型一 已知两边和夹角解三角形
例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2 2，C＝15°，求 A. 【思路分析】 本题主要考查余弦定理及其应用． 思路一：可用余弦定理求边 c，再用正弦定理求角 A. 思路二：可用余弦定理求边 c，再用余弦定理的推论求角 A.
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第一章 1.1 1.1.2
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2．在△ABC 中，b＝ 19，c＝5，B＝60°，求 a.能用余弦定 理求解吗？
答：能．由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2acosB，得 19＝a2＋25－2×5acos60°. ∴a2－5a＋6＝0，∴a＝3 或 a＝2. 显然，此类题利用余弦定理较为简单．解一元二次方程时， 若两根为正，则有两解，若有非正根，则舍去．
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第一章 1.1 1.1.2
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探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
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第一章 1.1 1.1.2
(2)已知两边及一边的对角，解三角形．(先用正弦定理求出 另一边的对角．再用正弦定理或余弦定理求第三边)；
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第一章 1.1 1.1.2
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(3)已知两边及其夹角，解三角形．(先用余弦定理求出第三 边，再用正弦定理或余弦定理求出另两角)；
(4)已知三边，解三角形．(先用余弦定理的推论，求出一角， 再用正弦定理求另外的角)．
高考调研衡水重点中学同步精讲 精练数学必修5112
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1．1 正弦定理和余弦定理
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第一章 解三角形
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1．1.2 余 弦 定 理
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第一章 解三角形
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授人以渔
课后巩固
课时作业
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第一章 1.1 1.1.2
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要点 2 余弦定理的推论
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
cosA＝
2bc ，cosB＝
2ac ，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab .
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第一章 1.1 1.1.2
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要点 3 余弦定理与勾股定理 (1)若一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，则第三边 所对的角是 锐 角． (2)若一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，则第三边 所对的角是 钝 角． (3)若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则第三边 所对的角是 直 角．
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第一章 1.1 1.1.2
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思考题 2 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、
b、c，若 A＝3π，a＝ 3，b＝1，则 c 等于(
)
A．1
B．2
C. 3－1
D. 3
【答案】 B
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第一章 1.1 1.1.2
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1．如何选择正弦定理、余弦定理解三角形？
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第一章 1.1 1.1.2
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答：由三角形的已知的边和角求未知的边和角的过程叫解三 角形．解三角形可以分成以下四种类型：
(1)已知两角及一边，解三角形．(先用正弦定理求出一边， 再求其余边和角)；
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第一章 1.1 1.1.2