E Pˆ f
1 N
E
N
IF (xj )
j1
E IF ( x j )
Pf
EIF (x) IF
E Pˆf IF
1 N
N
IF ( x j ) Pˆf
j1
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率估计值的方差可以通过对式(1)两边求方差得如下：
Var
Pˆf
Var
1 N
N j 1
如下
将可靠性灵敏度定义式做如下变换，可使可靠性灵敏度变 成数学期望的形式，之后就可以采用 Monte Carlo 数值模 拟来估计可靠性灵敏度。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
Pf
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
Rn IF ( x) f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn E[IF ( x)]
式中，I
F
(
x)
1, 0,
xF xF
为失效域指示函数；Rn为n维变量空
间；E[.]为数学期望算子。
3 Monte Carlo 可靠性分析
失效概率为失效域指示函数的数学期望，依据大数定律，失 效域指示函数的数学期望可以有失效域指示函数的样本均值 来近似。
dxR
1 FS (xR )
fR (xR )dxR
具有n设计变量的机械系统的功能函数可以表示为
Z g( x) g(x1, x2, ..., xn )
则极限状态方程g(x1, x2, …, xn)=0将结构的基本随机变
量空间分为失效域和可靠区域两部分。
2 机械可靠性
失效概率Pf可表示为
Pf
否 IF(xj)=0
g(xj)≤0 ?
是 IF(xj)=1
m=m+IF(xj)
否 j=N?
是
Pˆf
m N
,
V
ar
Pˆf
Pˆf Pˆf2 N 1
结束
3 Monte Carlo 可靠性分析
常见分布随机数生成函数的调用格式
3 Monte Carlo 可靠性分析
Ⅰ型极小值 分布
mu --mean parameter
上式表明样本均值
1 n
n i1 xi
是依概率收敛于母体的均值
μ
的。
3 Monte Carlo 可靠性分析
另外，设随机事件 A 发生的概率 P(A), 在n次独立试验中， 事件A发生的频率为m，则随机事件A发生的频率W(A)=m /n, 对于任意ε>0，有
lim P n
mi
N
j1 f X ( x j )
(k ) xi
x x j
xj是按联合概率密度 函数fX(x)抽取N个样 本中的第j个样本。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
当 x为相互独立的n维正态随机变量时
f X ( x) f X1 (x1) f X2 (x2 )
(对上式的求和)
2 机械可靠性
Pf P(Z 0)
fR (r) fS (s)drds
f
S
(
xS
)
xS
f
R
(
xR
)dxR
dxS
rs
FR (xS ) fS (xS )dxS
同理，也可以求得失效概率的另一种表达式
Pf
P(Z 0)
f
R
(
xR
)
xR
fS (xS )dxS
θ(h) xi
(i=1, 2, …, n; k=1, 2, …, mi)，其中mi为第i个变量xi
的分布参数的总数) 的偏导数，将失效概率的积分公式对分
布参数
所P示X(fh,i) ：
求导数，便可以得到可靠Px(ifk性) 灵敏度
F
f X
(x
(h) X ,i
)dx
Pf
y( x)0 fX ( x)dx
由式(1)可以看出，失效概率估计值的随机样本xj (j=1, 2, …, N)的函数，因此也是一个随机变量。为了对计算出的的收敛
性有一个清楚的认识，有必要对的方差进行分析。
对式(1)两边求数学期望，可得失效概率估计值 Pˆf 的期望E Pˆf 如下所示：
E
Pˆf
E
1 N
N
IF (xj )
j1
➢将随机向量样本xj代人极限
状态方程，并根据状态指示函
数IF(xj)进行累加。
➢求得失效概率估计值 Pˆf
➢估计失效概率估计值 Pˆf 的 方差及变异系数。
开始
设置抽样样本数N， 初始值m=0, j=0
j=j+1
由概率密度函数fX(x)参数随机样本点xj 将样本xj 代人功能函数，计算功能函数值g(xj)
Pf对基本随机变量分布参数θx的偏导数予以表达，即。可
靠性灵敏度反应了基本变量分布参数对失效概率的影响程 度，无量纲正则化的可靠性灵敏度可以给出基本变量分布 参数对可靠度的重要排序。
5 Monte Carlo 可靠性灵敏度分析
5.1 Monte Carlo 可靠性灵敏度估计的计算公式
可靠性灵敏度为失效概率 Pf 对基本随机变量 xi 的分布参数
g( x)0 f X (x1, x2 , , xn )dx1dx2 dxn
式中，f(x1, x2, …, xn) 是基本随机变量x=[x1, x2, …, xn]T的
联合概率密度函数。若基本随机变量是相互独立的，则有
Pf
g( x)0 f X1 (x1) f X2 (x2 ) f Xn (xn )dx1dx2 dxn
mu --location pa
sigma --standard deviatio rameter
由n 均pa值ra和m方ete差r 求Ⅰ型极小值分布的s分ig布m参a 数--scale p
arameter
X aX bX , 0.577...
aX X bX , 0.577...
X bX 6
x
机械系统 构件分布参数
✓应力是指对产品功能有影响的各种因素，比如机械应力、变形、 ✓强度是指产品承受应力的能力，比如机械强度、刚度、抗裂度等
2 机械可靠性
假定机械系统的强度随机变量 xR，应力随机变量为 xS，机
械系统极限状态函数（功能函数）为
Z g(xR , xS ) xR xS
极限状态的定义为：整个机械系统的一部分超过某一特定状 态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态为该功 能的极限状态。
Var Pˆf
1 N
1
(
Pˆf
Pˆf2 )
进而得到估计值的变异系数为
Cov(Pˆf )
Var[Pˆf E[Pˆf ]
]
1 Pˆf (N 1)Pˆf
3 Monte Carlo 可靠性分析
Pˆf
1 N
N
IF (xj)
j 1
Var
Pˆf
Var
1 N
N
IF (xj )
j 1
xj相互独立
Var Pˆf
样本xj与母体 x独立同分布
E Pˆ f
1 N
E
N j1
IF (xj )
E IF ( x j )
Pf
3 Monte Carlo 可靠性分析
由上式可知，E Pˆf Pf ，即为Pf的无偏估计
在数值模拟的过程中，以指示函数IF(x)的样本均值 IF 近似代 替E[IF(x)], 则失效概率估计值的期望可以近似表达为
bX X 6
5 Monte Carlo 可靠性分析
aX X bX , 0.577...
bX X 6
5 Monte Carlo 可靠性分析
采用向量运算代替循环提高Matlab计算效率
4 可靠性灵敏度
可靠性灵敏度定义为基本随机变量分布参数的变化引起失 效概率变化的比率，在数学上可靠性灵敏度是由失效概率
Pf
(k ) xi
fX ( x)dx
(k)
xi
fX ( x)
(k)
xi
f
1 X(
x)
f
X
(
x
)dx
Rn
IF
(
x)
fX ( x)
(k ) xi
1 fX (
x)
fX
(
x)dx
E
IF fX
(x) (x)
fX ( x)
(k ) xi
采用样本均值代替总体
均值
Pˆf 1 N IF ( x j ) fX ( x)
IF
(
x
j
)
x
j独立
1 N2
N
Var IF ( x j )
j1
xj与母体x独立同分
布
Var
Pˆf
1 N
VarIF (x)
(2)
由于样本方差依概率收敛于母体的方差，所以可以用IF(.)的样
本方差
S 2
1
N
1
N j1
I
2 F
(
x
j
)
NI
2 F
3 Monte Carlo 可靠性分析
指示函数IF(x)方差的无偏估计可以进一步表达为
xS
fR (xR )dxR
应力xS落在小区间dxS内，同时强度xR小于应力xS的概率
为P xR xS , xS dxS
fS (xS )dxS
xS
fR (xR )dxR
根据可靠度的定义，对于应力xS所有的可能值强度xR均小于应