一、选择题1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2019·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2019·娄底） 已知点P()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d === 16．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＝＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ．【答案】85或14． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1.（2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨14214m 214m 214m论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2019·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”.例如：是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。

例如：A （-1，8），B （4，一2），当点T （x .y ）满是x =143-+=1，y =8(2)3+-=2时.则点T （1，2）是点A ，B 的融合点。

（1）已知点A （-1，5），B （7，7）.C （2，4）。

请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点D （3，0）.点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点.①试确定y 与x 的关系式.②若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标.解：（1）∵173-+=2，573+=4， ∴点C （2，4）是点A .B 的融合点。

..…3分n ()()21++++n n n n 32343332++23252423++（2）①由融合点定义知x=33t+，得t=3x-3....4分又∵y=0(23)3t++，得t=332y-...….5分∴3x-3=332y-，化简得y=2x-1.……6分②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）. 由点T是点D，E的融合点，可得m=33m+或2m-1=(23)03m++解得m=32，∴点E1（32，6）.…7分（Ⅱ）当∠TDH =90°时，如图2所示，则点T 为（3，5）.由点T 是点D ，E 的融合点，可得点E 2（6，15）。

.……8分 （Ⅲ）当∠HTD =90°时，该情况不存在。

……9分 （注：此类情况不写不扣分） 综上所述，符合题意的点为E 1（32，6），E 2（6，15）. ……10分 4.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC 中,AB ＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,E,F 分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF 是邻余四边形;(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB 是邻余线,E,F 在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下,取EF 中点M,连接DM 并延长交AB 于点Q,延长EF 交AC 于点N.若N 为AC 的中点,DE ＝2BE,求邻余线AB 的长.解：(1)∵AB ＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴AD ⊥BC,∴∠ADB ＝90°,∴∠DAB+∠DBA ＝90°, ∴∠FAB 与∠EBA 互余.∴四边形ABEF 是邻余四边形; (2)如图所示,四边形ABEF 即为所求.(答案不唯一)(3)∵AB ＝AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴BD ＝CD,∵DE ＝2BE,∴BD ＝CD ＝3BE,∴CE ＝CD+DE ＝5BE.∵∠EDF ＝90°,M 为EF 的中点,∴DM ＝ME.∴∠MDE ＝∠MED.∵AB ＝AC,∴∠B ＝∠C,∴△DBQ ∽△ECN,∴35QB BD NC CE ==,∵QB ＝3,∴NC ＝5,∵AN ＝CN,∴AC ＝2CN ＝10,∴AB ＝AC ＝10.5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线y ＝－（x －2）2＋m ＋2的顶点．（1）当m ＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m ＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．解：（1）当m ＝0时，二次函数的表达式为y ＝－x 2＋2，画出函数图象（图1）， ∵当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．（2）当m ＝3时，二次函数的表达式为y ＝－（x －3）2＋5，画出函数图象（图2）， ∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝4时，y ＝4；∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）． （3）∵抛物线顶点P 的坐标为（m ，m ＋2）， ∴点P 在直线y ＝x ＋2上．由于点P 在正方形内，则0＜m ＜2． 如图3，点E （2，1），F （2，2）．图1图3∴当顶点P 在正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）． 当抛物线经过点E （2，1）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2＝1，解得m 1，m 2 当抛物线经过点F （2，2）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2＝2， 解得m 1＝1，m 2＝4（舍去）．m ＜1时，点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 6.（2019·达州）箭头四角形 模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________ .②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠BFC=__________.③如图4，BO 1、CO 2分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O 1，O 2，O 3，…，O 2018. 已知∠BOC=m °，∠BAC=n °，则∠BO 1000C=______度（1）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O 是四边形ABCD 内的一点，且OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD 是菱形.解：（1）①∵∠A+∠B+∠C=α∠，∠D+∠E+∠F=α∠ ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α∠②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ∠BEC=120°∠BAC=50°∴21∠BEC=21∠A+21∠ABC+21∠ACB ∴60°=25°+21∠ABC+21∠ACB ∴21∠ABC+21∠ACB=35° ∴∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ＝50°＋35° ＝85°∴∠BFC ＝85° ③n m 2019101920191000+ （2）7.(2019·枣庄)对于实数a 、b ，定义关于的一种运算：a ⊗b ＝2a+b.例如3⊗4＝2×3+4＝10. (1)求4⊗(－3)的值；(2)若x ⊗(－y)＝2，(2y)⊗x ＝－1，求x+y 的值. 解：(1)根据题意得：4⊗(－3)＝2×4+(－3)＝5.(2)∵x ⊗(－y)＝2，(2y)⊗x ＝－1,∴2x+(－y)＝2,2×2y+x ＝－1,解这个二元一次方程组,得,x ＝79,y ＝49-,∴x+y ＝13.8.（2019·济宁） 阅读下面材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， （1）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＜f (x 2)，则称f (x )是增函数； （2）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＞f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1) －f (x 2)＝1266x x -＝()21211212666.x x x x x x x x --= ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0．∴()21126x x x x -＞0，即f (x 1) — f (x 2)＞0．∴f (x 1) ＞f (x 2)，∴函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数()21f x x x=+（x ＜0），()()()()()()22117110,22412f f -=+-=-=+-=--- （1）计算：f (－3)＝________，f (－4)＝________； （2）猜想：函数()21f x x x=+（x ＜0）是________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 解：（1）()()()()()()2212616333,4491634f f -=+-=--=+-=--- （2）增；（3）证明：设x 1＜x 2＜0，f (x 1) －f (x 2)＝22211212122222221212121111x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()()2121212121222212121x x x x x x x x x x x xx x+--+-=--=．∵x 1＜x 2＜0，∴x 2—x 1＞0，x 12x 22＞0，x 2＋x 1－1＜0， ∴()()212122121x x x x x x -+-＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0．∴f (x 1) ＜f (x 2)，∴函数()21f x x x =+是增函数． 一、选择题11．（2019·深圳）定义一种新运算：abn=n n a b ，例如：132=2213=1－9=－8，若51mm=－2，则m=（ ）A ．－2B ．52-C ．2D ．52【答案】B【思路分析】如图【解题过程】由题意得1m －15m=1m －15m =－2，则m=52-，故选B ．【知识点】定义新运算三、解答题26.（2019 ·扬州）如图，平面内的两条直线1l 、2l ，点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作直线2l 的垂线，垂足分別为1A ，1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记作(,)AB AD T 或2(,)AB l T ，特别地线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1A C ．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC ∆中，5AB =，(,)3AC AB T =，则(,)BC AB T =；（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，求ABC ∆的面积；（3）如图3，在钝角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在AB 边上，90ACD ∠=︒，(,)2AD AC T =，(,)6BC AB T =，求(,)BC CD T ，【思路分析】（1）如图1中，作CH AB ⊥．根据正投影的定义求出BH 即可．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．由正投影的定义可知4AH =，9BH =，利用相似三角形的性质求解CH即可解决问题．（3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．根据正投影的定义，求出CD ，DK 即可解决问题． 【解题过程】解：（1）如图1中，作CH AB ⊥．(,)3AC AB T =，3AH ∴=，5AB =，532BH ∴=-=，(,)2BC AB T BH ∴==，故答案为2．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，4AH ∴=，9BH =，90ACB CHA CHB ∠=∠=∠=︒，90A ACH ∴∠+∠=︒，90ACH BCH ∠+∠=︒，A BCH ∴∠=∠，ACH CBH ∴∆∆∽，∴CH AHBH CH =，∴49CH CH =，6CH ∴=，111363922ABC S AB CH ∆∴==⨯⨯=．（3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．90ACD ∠=︒，(,)2AD AC T =，2AC ∴=，60A ∠=︒，30ADC BDK ∴∠=∠=︒，CD ∴==，24AD AC ==，112AH AC ==，3DH AD AH =-=，(,)6BC AB T =，CH AB ⊥，6BH ∴=，3DB BH DH ∴=-=，在Rt BDK ∆中，90K ∠=︒，3BD =，30BDK ∠=︒，cos30DK BD ∴=︒=，CK CD DK ∴=+=，(,)BC CD T CK ∴=．【知识点】正投影的定义；解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定和性质（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点A （x1，y1）和B （x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d （A ，B ）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A （﹣2，1），则d （O ，A ）＝ ． ②函数y ＝﹣2x+4（0≤x ≤2）的图象如图①所示，B 是图象上一点，d （O ，B ）＝3，则点B 的坐标是 ． （2）函数y =4x （x ＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3． （3）函数y ＝x2﹣5x+7（x ≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求d （O ，D ）的最小值及对应的点D 的坐标． 【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M 为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【思路分析】（1）①根据定义可求出d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d （A ，B ）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B 是函数y ＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B 的坐标； （2）由条件知x ＞0，根据题意得x +4x =3，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3．（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处，可由d （O ，P ）≥d （O ，E ）证明结论即可．【解题过程】解：（1）①由题意得：d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x ≤2， ∴x+y ＝3， ∴{x +y =3y =−2x +4， 解得：{x =1y =2，∴B （1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数y=4x(x＞0)的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得|x−0|+|4x−0|=3，∵x＞0，∴4x＞0，|x−0|+|4x−0|=x+4x，∴x+4x=3，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵x2−5x+7=(x−52)2+34＞0，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．∵∠EFH＝45°，∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，同理d（O，P）＝OG，∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．【知识点】新定义；二次函数图象及其性质；解方程（组）25．（2019·毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a ，b ，c ，用{M a ，b ，}c 表示这三个数的平均数，用{min a ，b ，}c 表示这三个数中最小的数．例如：{1M ，2，1299}43++==，{1min ，2，3}3-=-，{3min ，1，1}1=．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①2{(2)M -，22，22}-=43； ②{sin30min ︒，cos60︒，tan 45}︒= ； （2）若{2M x -，2x ，3}2=，求x 的值；（3）若{32min x -，13x +，5}5-=-，求x 的取值范围．【思路分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可． （2）构建方程即可解决问题． （3）根据不等式解决问题即可．【解题过程】解：（1）①2{(2)M -，22，2222(2)2242}33-+--==；②{sin30min ︒，cos60︒，1tan 45}2︒=；故答案为：43；12； （2）){2M x -，2x ，3}2=，∴22323x x -++=，解得1x =-或3；（3）{32min x -，13x +，5}5-=-，∴325135x x --⎧⎨+-⎩，解得24x -．【知识点】特殊角的三角函数值；算术平均数；解一元一次不等式组.23．（2019·随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn ＝10m+n ，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc ＝100a+10b+c ． 【基础训练】 （1）解方程填空：①若2x ＋3x ＝45，则x ＝；②若7y －8y ＝26，则y ＝；③若93t ＋58t ＝131t ，则t ＝； 【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn ＋nm 一定能被整除，mn －nm 一定能被整除，mn ·nm －mn 一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532－235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” ． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【思路分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是理解新定义的运算法则及一元一次方程的解法．（1）根据mn＝10m+n，abc＝100a+10b+c，分别代换可以得到关于x，y，t的一元一次方程，解这些方程即可分别得出①、②、③的结果；（2）将mn、nm分别根据定义写成10m+n和10 n + m，然后再依据运算分别进行合并同类项便可以看成一定能被谁整除；（3）依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义反复推算可得出①；由a ＞b＞c，abc＝100a+10b+c，重新排列得到最小的数为cba＝100c+10b+a，第一次运算可以得到99（a－c），结果必为99的倍数，再依据a，b，c的大小关系，以及各数位上的数至少相差1的特点，可以得出a－c的取值范围，从而写出第一次运算后所有可能的结果，再将这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的定义进行推算，便可得到结果．【解题过程】解：（1）∵mn＝10m+n，∴2x＋3x＝45＝20+x+10x+3＝11 x+23＝45，得x＝2，同理可得y＝4，t＝7；（2）mn＋nm＝10m+n+10n+m＝11（m+n）故一定被11整除；同理mn－nm一定被9整除；mn·nm－mn一定能被10整除；（3）①反复运算可得495；②∵a＞b＞c，∴第一次运算得到100a+10b+c－（100c+10b+a）＝99（a－c），可以看出结果必为99的倍数，∵a＞b＞c，∴a≥b＋1，b≥c＋1，即a≥b＋1≥c＋2，∴a－c≥2，9≥a＞c，∴a－c≤9，则a－c＝2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算得到99（a－c）可以是198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：981－198＝792，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，954－459＝495，以后均重复运算，故可以得到该黑洞数为495．【知识点】新定义25.（2019·天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【思路分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE =√73．【知识点】正方形的性质； 全等三角形的判定和性质；垂直的定义；勾股定理；新定义25.（2019·黔东南）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min {a ，b ，c }表示这三个数中最小的数，例如M {1，2，9}=1+2+93=4，min {1，2，﹣3}＝﹣3，min （3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M {（﹣2）2，22，﹣22}＝ ， ②min {sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；（2）若min （3﹣2x ，1+3x ，﹣5}＝﹣5，则x 的取值范围为 ； （3）若M {﹣2x ，x 2，3}＝2，求x 的值；（4）如果M {2，1+x ，2x }＝min {2，1+x ，2x }，求x 的值．【思路分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可． （2）根据不等式解决问题即可． （3）构建方程即可解决问题． （4）把问题转化为不等式组解决即可．【解题过程】解：（1）①M {（﹣2）2，22，﹣22}=43， ②min {sin30°，cos60°，tan45°}=12； 故答案为：43，12．（2）∵min （3﹣2x ，1+3x ，﹣5}＝﹣5， ∴{3−2x ≥−51+3x ≥−5， 解得﹣2≤x ≤4， 故答案为﹣2≤x ≤4． （3）∵M {﹣2x ，x 2，3}＝2，∴−2x+x 2+33=2，解得x ＝﹣1或3．（4）∵M {2，1+x ，2x }＝min {2，1+x ，2x }， 又∵2+1+x+2x3=x +1，∴{x +1≤2x +1≤2x ， 解得1≤x ≤1， ∴x ＝1．【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；算术平均数二、填空题12．（2019·襄阳）定义：a *b ＝ab ，则方程2*(x ＋3)＝1*(2x )的解为________．答案：x=1解析：本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知：32)3(2+=+*x x ，xx 21)2(1=*，可得方程xx 2132=+，解得x =1，经检验此解为方程的根．三、解答题26．（2019·徐州）【阅读理解】用10cm ×20cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm 的图案． 已知长度为10cm 、20cm 、30cm 的所有图案如下：20cm10cm 20cm 20cm 30cm 30cm 30cm 【尝试操作】【归纳发现】解析：本题考查与图形有关规律的探究，解题的关键是画出长度是40cm的图案.答案：解：【尝试操作】按照横放和平放两大类来进行画图；【归纳发现】按1，2，3，5，猜想出从第三个数开始，每一个数都等于前面两个数之和. 解：【尝试操作】【归纳发现】附：长度是50cm时，有8种不同的图案：26．（2019 · 常州）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n的代数式表示）．请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立．【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．图26—3图26—4图26—1bc ca图26—2【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题28．（2019 ·常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；＋1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．S阴影＝2(21202360π⋅－112⋅)＝83π-．图28—2图28—1第26题答图②1≤x1或1－x ≤1－．【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题21. （2019 ·荆州）若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的顶点在一次函数y ＝kx +t （k ≠0）的图象上，则称y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）为y ＝kx +t （k ≠0）的伴随函数，如：y ＝x 2+1是y ＝x +1的伴随函数． （1）若y ＝x 2﹣4是y ＝﹣x +p 的伴随函数，求直线y ＝﹣x +p 与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数y ＝mx ﹣3（m ≠0）的伴随函数y ＝x 2+2x +n 与x 轴两个交点间的距离为4，求m ，n 的值． 解：∵y ＝x 2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4）， ∵y ＝x 2﹣4是y ＝﹣x +p 的伴随函数， ∴（0，﹣4）在一次函数y ＝﹣x +p 的图象上， ∴﹣4＝0+p ． ∴p ＝﹣4，∴一次函数为：y ＝﹣x ﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0）， ∴直线y ＝﹣x +p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4， ∴直线y ＝﹣x +p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：12×4×4=8．（2）设函数y ＝x 2+2x +n 与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2＝﹣2，x 1x 2＝n ， ∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4n ，第28题答图3 第28题答图4CBA第28题答图1∵函数y ＝x 2+2x +n 与x 轴两个交点间的距离为4， ∴√4−4n =4， 解得，n ＝﹣3，∴函数y ＝x 2+2x +n 为：y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y ＝x 2+2x +n 是y ＝mx ﹣3（m ≠0）的伴随函数， ∴﹣4＝﹣m ﹣3， ∴m ＝1．【知识点】新定义；一次函数的图象；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点22．（2019·安顺）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N ．比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）＝log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n∴M •N ＝a m •a n ＝a m +n ，由对数的定义得m +n ＝log a （M •N ） 又∵m +n ＝log a M +log a N ，∴log a （M •N ）＝log a M +log a N 根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数34＝81转化为对数式 ； （2）证明log aNM＝log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 69+log 68﹣log 62＝ ．解：（1）由题意可得，指数式34＝81写成对数式为：4＝log 381，故答案为：4＝log 381； ·········································································· 3分 （2）设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ····································· 4分∴N M ＝n m a a ＝a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n ＝log a NM ， ······························· 5分又∵m ﹣n ＝log a M ﹣log a N6分∴log aNM＝log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）； ··························· 7分 （3）log 69+log 68﹣log 62＝log 6（9×8÷2）＝log 636＝2，故答案为：2． ···················································································· 10分【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法．整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系。