3. 导数的物理意义
如果物体运动的规律是 s=s（t），那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= s （t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度
a=v′（t）。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行
驶路程 s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
例：在函数
y
x
3
8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，坐标为整数的点的个
4
数是
(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析]：切线的斜率为 k y / 3x 2 8
又切线的倾斜角小于 ，即0 k 1 4
故0 3x 2 8 1
解得： 3 x 8 或 3
故没有坐标为整数的点
8 x 3 3
若 C 为常数,则(Cu)' C 'u Cu ' 0 Cu ' Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘
以函数的导数： (Cu)' Cu '.
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，
再除以分母的平方：
u v
u' v
uv' v2
（v
0）。
当 x>0 时，f(x)g(x)为增函数，且 f(3)g(3)=0
故当0 x 3 时，f(x)g(x)＜0
故选 D
3. 复合函数的导数
形如 y=f (x) 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。
法则：y＇| X = y＇|U ·u＇| X 或者 f [ (x)] f ( )* (x) .
就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。
2 x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量， x 0 时，而y 是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的步骤：
① 求函数的增量y =f（x 0 + x ）－f（x 0 ）；
②
求平均变化率 y
=f
(x0
导数知识点归纳及其应用
● 知识点归纳
一、相关概念 1. 导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量
y =f（x + x ）－f（x ），比值 y 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + x 之间的平均变化
0
0
x
0
0
率，即 y = f (x0 x) f (x0 ) 。如果当x 0 时， y 有极限，我们就说函数 y=f(x)
x) x
f
(x0 )
；
x
③ 取极限，得导数 f’(x 0 )= lim y 。
x0 x
例：设 f(x)= x|x|, 则 f′(0)=
.
[解析]：∵ lim f (0 x) f (0) lim f (x) lim | x | x lim | x | 0
x0
x
x0 x
x0 x
x0
=0
2. 导数的几何意义
二、导数的运算
1. 基本函数的导数公式:
① C 0;（C 为常数）
2
② xn nxn1;
③(sin x) cos x ;
④ (cos x) sin x ;
⑤ (ex ) ex ;
⑥ (ax ) ax ln a ;
⑦ ln x 1 ;
x
⑧lo ga
x
1 log e . xa
例 1：下列求导运算正确的是
[解析]：∵当 x＜0 时, f (x)g(x) f (x)g(x) ＞0 ，即[ f (x)g(x)]/ 0
∴当 x＜0 时，f(x)g(x)为增函数， 又 g(x)是偶函数且 g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0
故当 x 3 时，f(x)g(x)＜0，又 f(x)g(x)是奇函数，
s
s
s
s
O
tO
tO
tO
t
A
B.
C．
D
答：A。
练习：已知质点 M 按规律 s 2t 2 3 做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。
s
（1）
当
t=2， t 0.01 时，求
；
t
s
（2） 当 t=2， t 0.001 时，求 t ；
（3） 求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度。
答案：（1）8.02 cm s （2）8.002 cm s ；（3）8 cm s
x
x
x
在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 0 处的导数，记作 f’（x0 ）或 y’| xx 。 0
即 f’（x ）= lim y = lim f (x0 x) f (x0 ) 。
0
x x0
x0
x
说明：
y
y
1 函数 f（x）在点 x 0 处可导，是指x 0 时， x 有极限。如果
y x x5 sin x; x2
（3） y sin x 1 2cos2 x
;
2
4
（2） y (x 1)(x 2)(x 3);
例：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x＜0 时,
f (x)g(x) f (x)g(x) ＞0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)＜0 的解集是 (
)
3
A． (-3,0)∪(3,+∞) C． (-∞,- 3)∪(3,+∞)
B． (-3,0)∪(0, 3) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
C．cosx
( D．－cosx
fn′(x)， )
2. 导数的运算法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： ( u v)' u ' v'.
法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即： (uv)' u 'v uv'.
∴f′(0)
函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ））处的切
线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ） 处的切线的斜率是 f’（x0 ）。
1
相应地，切线方程为 y－y 0 =f/（x 0 ）（x－x0 ）。
1
1
A．(x+ ) 1
x
x2
C．(3x)′=3xlog3e
B．(log2x)′=
x
1 ln
2
D． (x2cosx)′=-2xsinx
(
)
例 2： 设 f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝
n∈N，则 f2005(x)＝ A．sinx
B．－sinx