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正弦定理（一）
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掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．已知△ABC中，a＝4，b＝4
3，∠A＝30°，则∠B等于()
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或120°
2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为()
A．9 B．18
C．9
3D．183
3．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶
3∶2，则A∶B∶C等于()
A．1∶2∶3B．2∶3∶1
C．1∶3∶2D．3∶1∶2
4．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为() A．(2，＋∞)B．(-∞，0)
C．(-2
1
，0) D．(
2
1
，＋∞)
5．在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2
3，AC＝2，则△ABC的面积是________．2．在△ABC中，若b＝2c sin B，则∠C＝________．
3．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．
4．已知△ABC的面积为2
3
，且b＝2，c＝
3，则∠A＝________．
5．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(
3＋1)，那么△ABC的面积为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
1．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．
(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．
(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．
2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶
13，求a ，b ，c ．
3．在△ABC 中，求证2tan 2tan B A B A b a b a +-=+-．
4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．
5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于
3．
参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．D 分析：由正弦定理得，B b A
a sin sin =，
∴ sin B ＝
23sin =a A b ，
∴ ∠B ＝60°或∠B ＝120°．
2．C 分析：∵ ∠A ＝30°，∠B ＝120°， ∴ ∠C ＝30°，∴ BA ＝BC ＝6， ∴ S △ABC ＝2
1×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93． 3．A 分析：由正弦定理得，C c B b A
a sin sin sin ==， ∴ sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶
23∶1，
∴ A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．
4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．
5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．23或3 分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，
由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．
2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C c B B c C c B b sin sin sin 2sin sin ==得， ∴ sin C ＝21，∴ ∠C ＝30°或150°．
3．22 分析：∵ c ＝2R sin C ，∴ R ＝22sin 2=C c ． 4．60°或120° 分析：∵ S △ABC ＝21bc sin A ，∴ 23＝21
×2×3sin A ，∴ sin A ＝23，
∴ ∠A ＝60°或120°．
5．6＋23 分析：∵ B b
A a sin sin =，
∴ ︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b
，
∴ b ＝4．
∴ S △ABC ＝21
ab sin C ＝6＋23．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
1．解：(1)∵ a ＋b ＝16，∴ b ＝16-a
S ＝21
ab sin C
＝21
a (16-a )sin60°
＝43
(16a -a 2)
＝-43
(a -8)2＋163（0＜a ＜16)
(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．
2．解：∵ sin C ∶sin A ＝4∶13
∴ c ∶a ＝4∶13
设c ＝4k ，a ＝13k ，则
⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-3
8213)
4(213132k b k k b k k
由①、②消去2b ，得 13k 2-16k ＋3＝0
③ 解得k ＝133
或k ＝1，
∵ k ＝133
时b ＜0，故舍去．
∴ k ＝1，此时a ＝13，b ＝213
5-，c ＝4．
3．证明：由正弦定理，知
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B
2tan 2tan 2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin()22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴
4．证明：∵ A 、B 、C 成等差数列，
∴ 2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴ B ＝3π，A ＋C ＝3
2π．
∵ b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ， ∴ b ＝2R sin 3π
∴
1＝2R ·23
， ∴
3R ＝1． ∴ a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C
＝2R (sin A ＋sin C )
＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］
＝2R (23cos C ＋23sin C )
＝23R (21cos C ＋23sin C )
＝23R sin(C ＋6π)
＝2sin(C ＋6π)
∵ A ＋C ＝32π，∴ 0＜C ＜32π
∴ 6π＜C ＋6π＜65π
∴ 21＜sin(C ＋6π)≤1
∴ 1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴ 1＜a ＋c ≤2．
5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得 A B A A C a c sin )sin(sin sin +==
∵A≤B
∴2A≤A＋B≤180°-C≤60°
∵正弦函数在(0，3
π
)上是增函数，
∴sin(A＋B)≥sin2A＞0
∴
A
B
A
a
c
sin
)
sin(+
=
≥A
A
A
A
A
sin
cos
sin
2
sin
2
sin
=
＝2cos A
∴a
c
≥2cos A
∵2A≤60°
∴0°＜A≤30°
∴cos A≥cos30°＝2 3
∴a
c
≥2·2
3
∴a
c
≥
3
∴最长边与最短边之比不小于。