等比数列的前n 项和（两课时）一 知识梳理新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：公式的推导方法二：二 问题探究 知识点一、等比数列前n 项和的基本计算：“知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

怎样用学过的知识来说明它？例2、等比数列{}n a 的公比,1218==a q ，求前八项的和8s例3、求和： 9999999999999个n +++例4、某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年产值的总和。

练习：1、13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.2、在等比数列{a n }中，S 3＝72S 6＝632，求a n .3、 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及4、在等比数列}{n a 中，661=+n a a ，12822=-n a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q5、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?知识点二、利用等比数列前n 项和的性质解题例5 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -()1-≠q 也成等比.练习：1、 在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .2、等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .3、等比数列的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝30，S 60＝630，求S 70的值．知识点三 错位相减法的应用例6、求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．练习：1、求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．知识点四 等比数列前n 项和的证明问题例7、 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.练习：1、已知n S 是数列}{n a 前n 项和，n n p S =（R p ∈，*N n ∈），判断}{n a 是否是等比数列2、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n nb a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.知识点五 等差数列、等比数列的综合问题例8、设{a n }是等差数列，na nb ⎪⎭⎫⎝⎛=21，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项.a n练习 1、在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2 a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．三、课堂反馈：1．若等比数列}{n a 的前n 项和a S n +=32，则a 等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．1-2．已知数列｛n a ｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n 项和为（ ）Ａ．0 B ．n Ｃ．n a 1 Ｄ．a 1n3．已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和n S 的值为（ ） Ａ．3n －1 B ．3(3n－1) Ｃ．419-nＤ．n4．实数等比数列｛n a ｝，n S ＝n a a a +++ 21，则数列｛n S ｝中（ ）Ａ．任意一项都不为零 B ．必有一项为零 Ｃ．至多有有限项为零 Ｄ．可以有无数项为零5．在等比数列}{n a 中，21=a ，前n 项和为n S ，若数列}1{+n a 也是等比数列，则nS 等于（ ） A ．221-+nB ．n 3C ．n 2D ．13-n6．在等比数列}{n a 中，41=a ，5=q ，使710>n S 的最小n 的值是（ ）Ａ．11 Ｂ．10 Ｃ．12 Ｄ．97．已知数列｛n a ｝的前n 项和n S =n 3,则876a a a ++＝ .8．一个数列的前n 项和为n S =1－2+3－4+…+(－1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝ ． 9．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = .10．在等比数列}{n a 中，已知24=S ，68=S ，则=+++20191817a a a a ． 11．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S ，33S 成等差数列，则}{n a 的公比为 ．12．在等比数列中，已知：36,463==S a ，求n a13．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q14．各项均为正数的等比数列}{n a ，若前前n 项和为n S ，且1010=S ，7030=S ，求40S15．已知等比数列}{n a 共有n 6项，前n 项和为2，其后n 2项和为12，求最后n 3项和16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．17.已知数列}{n a 是首项41=a ，公比1≠q 的等比数列，n S 是其前n 项和，且14a ，5a ，32a -成等差数列．（１）求公比q 的值；（２）求n n a a a T 242+++= 的值．18.已知数列}{n a 中，n S 是它的前项和，且11=a ，241+=+n n a S ，设nn n a a b 21-=+（*N n ∈）． （１）求证：数列}{n b 是等比数列，并求数列}{n b 的通项公式； （２）求证：3211121<+++nb b b ．高二数学试题一．选择题：1. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（ ）A.12-=n a nB.)21()1(n a n n --=C.)12()1(--=n a n nD.)12()1(+-=n a n n 2．在等差数列{}n a 中，若210,a a 是方程21280x x +-=的两个根，那么6a 的值为A ．－12B ．－6C ．12D ．6 3.若ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos （ ）A. 41-B. 41C.32-D.324. 若CcBb Aa cos cos sin ==,则ABC ∆为（ ）A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形5.等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为（ ） A. 120 B.70C.75D. 1006．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A. 0060,45,10===C A bB. 060,5,6===B c aC. 060,5,7===A b aD. 045,16,14===A b a7．在等差数列{}n a 中，若189=S ，240=n S ，304=-n a ，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．178． 在ABC ∆中，060=A ，1=b ，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2399．在m 200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是030,060，则塔高为（ ）A m 3400 B m 33400 C m 33200 Dm 320010．在三角形ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么A 等于（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．015011．设11102++-=n n a n ，则数列{}n a 从首项到第几项的和最大（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项12．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 二．填空题：13．已知{}n a 为等差数列，3822a a +=，67a =，则5a =____________. 14. 已知数列{}n a 的前n 项和是21n S n n =++, 则数列的通项=n a __ .15．在ABC ∆中,若222c b a <+,且23sin =C ,则=∠C16．ABC ∆中，a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，ABC S ∆=23，那么b = .三．解答题:17. (本小题满分12分)等差数列{an}的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，第n 项为na ，前n 项和为nS ，请填写下表：18.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a，求前20项之和．19. (本小题满分12分)在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ， 求A ，C 及c .20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．21.（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若B c a cos =且A c b sin =。

试判断ABC ∆的形状．22.（本小题满分14分）一缉私艇A 发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上C 处有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.A。