第15章 简单几何体(教师版)
复习与小结
一．要点呈现
1、多面体的结构特征：
（1）棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面是 平行四边形 ，且相邻两个面的交线都 互相平行 ．
（2）棱锥：有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形．
（3）圆柱：旋转图形 矩形 ，旋转轴： 矩形的一条边 所在的直线．
（4）圆锥：旋转图形 直角三角形 ，旋转轴： 一条直角边 所在的直线．
（5）球：旋转图形 半圆 ，旋转轴： 半圆的直径 所在的直线．
2、平行投影与直观图：空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：
（1）原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45︒，z 轴与x 轴和y 轴所在平面 垂直 ．
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 平行于坐标轴 ．平行于y 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于x 轴的线段长度在直观图中 取原长度一半 ．
3、特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 斜 棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直 棱柱；底面是正多边形的直棱柱是 正 棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做 直平行六面体 ；底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ；棱长都相等的长方体叫做 正方体 ；其中长方体对角线的平方等于同一顶点上 三条棱长度的平方和 .
4、特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为 正棱锥 ，它的各侧面底边上的高均 相等 ，叫做 斜高 ；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 正四面体 .
5、在推导几何体体积公式时，我们应用了祖暅原理，该原理的意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 .
6、两点间的球面距离的定义是： 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度叫两点间的球面距离 .
二．范例导析
【例1】三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，求：
（1）内切球表面积； （2）外接球体积.
分析：通过体积相等法求内切球的半径；怎样找外接球的球心？
解答：（1）内切球的半径为：45r -=8825
-； （2）外接球的半径为：32R =，体积为92
π.
【例2】在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 12π
=∠ACB ，
61π
=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3
π，341=AA ， 4=BC .求斜三棱柱-ABC 111C B A 的体积V . 分析：由题意知：AC ⊥面11CBB C ,所以:面ABC ⊥面11CBB C ，
点1B 在面ABC 内的射影落在BC 上，可求出三棱柱的高
解答：48V =
【例3】如图：圆锥的顶点是S ，底面中心为O.OC 是与底面直径
AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.
（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC
所成角为， 求圆锥的体积.
分析： 证明不可能垂直可用反证法，注意书写格式；
异面直线AD 与BC 所成角来求底面圆的半径
解答：（2）163V π=
三．随堂训练
一．填空题
1. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为163
. 2. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B
间的球面距离是2． 3. 如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥
的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制
作该容器需要铁皮面积为 444 cm 2．（衔接部分忽略不计，
结果保留整数）
4.如图，ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖
去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交
于N ），则图中阴影部分绕直线AC
． 5. 在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=，若△ABC 绕直线
BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是32π.
6. 一个透明密闭的正方体容器的棱长为1，该容器盛有一部分水的容积为V ，经转动这个 正方体，水面在容器中的形状可以是三角形，则正方体容器中水的容积V 的范围是
15(0,][,1)66
． 二．选择题
7. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ D ）
A ．平面六边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．直角三角形
8. 一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是（ C ）
A.
3π100cm 3 B.3π208cm 3 C.3
π500cm 3 D.3π34161cm 3 9. 如图，正方体
1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动
点E 、F ，且EF ＝12
，则下列结论中错误的是 ( D ) A ．AC⊥BE B ．EF∥平面ABCD C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
三．解答题
10.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A B 、两点，它们的经度相差90°，求：
（1）这两点所对的纬线劣弧长。
（2）这两点间的球面距离。
答案：（1R ； （2）13
R π 11. 某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆
锥形（如图）。
现把半径为10cm 的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇
形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积
和体积（精确到0．01）．
答案：表面积为：287.96cm ； 体积为：3
57.80cm
12.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小
为2arctan ，M 为PA 的中点．
（1）求四棱锥ABCD P -的体积；
（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
答案：（1）3
（2） 四．提高拓展
13．三个半径为1的球互相外切，且每个球都同时与另外两个半径为r 的球外切。
如果这两个半径为r 的球也互相外切，求r 的值． 答案：16
14. 如图，等高的正三棱锥ABC P -与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，
又圆O 的直径BC AD ⊥，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1；
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求异面直线AB 与SD 所成角的大小；
（3）若平行于平面M 的一个平面N 截得三 棱锥与圆锥的截面面积之比为π
3，求三棱锥 的侧棱PA 与底面ABC 所成角的大小．
答案：（1）；
（2） （3）9arctan 2 四．反馈跟进
五．学能导航
【要点剖析】
通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析问题、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力．
本主题的教学重点是：熟悉简单几何体及简单组合体的结构特征，并会画出它们的直观图，面积和体积及球面距离的计算．教学难点是：区别各种几何体结构特征的异同，并能与实际生活中相联系．
【方法点评】
研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题.几何体的表面积与体积中注意：
（1）有些几何体的表面积求法，可以把其展开，转化为平面图形来计算.
（2）圆柱、圆锥的侧面展开图的形状，及与原几何体中一些量的关系.
（3）球的截面性质，球半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形.球的内接和外切问题.
（4）解决体积问题关键是求高，有关体积的计算应注意“割补”思想的应用.
六．自我反思。