谓词逻辑一、选择题（每题3分）1、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(()())x F x G x ∃∧消去量词后，可表示为为（ C ）A 、(()())(()())F a F b G a G b ∧∨∧B 、(()())(()())F a F b G a G b ∨∧∨C 、(()())(()())F a G a F b G b ∧∨∧D 、(()())(()())F a G a F b G b ∨∧∨2、设个体域{,}A a b =，则谓词公式(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为（ D ）A 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧B 、()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨C 、()()()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∨∧D 、()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨3、设个体域{,}D a b =，使谓词公式()xP x ∀的真值为1的谓词P 满足（ D ）A 、()0,()0P a P b ==B 、()0,()1P a P b ==C 、()1,()0P a P b ==D 、()1,()1P a P b ==4、设个体域{2}D =，()P x ：3x >，()Q x ：4x =，则谓词公式(()())x P x Q x ∃→为( A )A 、永真式B 、永假式C 、可满足式D 、无法判定5、谓词公式(,)((,)(,))F x y G x y F x y →→的真值（ D ）A 、与谓词变元有关，与论述域无关B 、与谓词变元无关，与论述域有关C 、与谓词变元和论述域都有关D 、与谓词变元和论述域都无关提示：()()p q p p q p T →→⇔⌝∨⌝∨⇔.6、谓词公式(,)(,)y xP x y x yP x y ∃∀→∀∃的真值（ D ）A 、与谓词变元有关，与论述域无关B 、与谓词变元无关，与论述域有关C 、与谓词变元和论述域都有关D 、与谓词变元和论述域都无关7、谓词公式(()())()x P x yR y Q x ∀∨∃→中的变元x （ C ）A 、仅是自由的B 、仅是约束的C 、既是自由的也是约束的D 、既不是自由的也不是约束的8、设D ：全总个体域，()H x ：x 是人， ()P x ：x 要死的，则命题“人总是要死的”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()())x H x P x ∃∧B 、(()())x H x P x ∃→C 、(()())x H x P x ∀∧D 、(()())x H x P x ∀→9、设D ：全总个体域，()H x ：x 是人， ()P x ：x 犯错误，则命题“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()())x H x P x ∃∧B 、(()())x H x P x ∃→C 、(()())x H x P x ∀∧D 、(()())x H x P x ∀→10、设D ：全总个体域，()F x ：x 是花，()M x ：x 是人，(,)H x y ：x 喜欢y ， 则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为（ D ）A 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→B 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→C 、 (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→D 、(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→11、设D ：全总个体域，()L x ：x 是演员，()J x ：x 是老师，(,)A x y ：x 钦佩y ， 则命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为( B )A 、)),()((y x A x L x →∀B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀C 、 )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀12、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀∨⇔∀∨B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇔∀∨∀C 、 (())()x A x P xA x P ∀∧⇒∀∧D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀13、设B 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀∨⇔∀∨B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇔∀∨∀C 、(())()x A x P xA x P ∃∨⇔∃∨D 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃14、下列表达式错误的有( A )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∨∀⇒∀∨C 、 (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇒∀∧∀D 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∧∀⇒∀∧15、下列表达式错误的有( B )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃∧∃⇒∃∧C 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇒∃∨∃D 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃∨∃⇒∃∨16、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x A x P xA x P ∀→⇔∃→B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀→⇔∃→∀C 、(())()x A x P xA x P ∃→⇔∀→D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇔∀→∃17、设P 是不含自由变元x 的谓词，则下列表达式错误的有( B )A 、(())()x PB x P xB x ∀→⇔→∀ B 、(()())()()x A x B x xA x xB x ∀→⇔∃→∀C 、(())()x P B x P xB x ∃→⇔→∃D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇔∀→∃18、下列表达式错误的有( A )A 、(()())()()x A xB x xA x xB x ∀→⇒∃→∀ B 、()()(()())xA x xB x x A x B x ∃→∀⇒∀→C 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇒∀→∃D 、(()())()()x A x B x xA x xA x ∃→⇒∀→∃19、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则()()xP x P y ∀⇒可称为( A )A 、USB 、ESC 、UGD 、EG20、设y 是个体域D 中任一确定元素，则推理规则()()P y xP x ⇒∃可称为( D )A 、USB 、ESC 、UGD 、EG二、填充题（每题4分）1、若个体域D 仅包含一个元素，则谓词公式()()yP y xP x ∃→∀的真值为1．2、若个体域{1,2}D =，指定谓词P 满足右表 则谓词公式(,)x yP y x ∀∃的真值为1．3、若个体域{1,2}D =，指定谓词P 满足右表 则谓词公式(,)y xP x y ∃∀的真值为0．4、设D ：全总个体域，()W x ：x 是女同志，()J x ：x 是教练员，()L x ：x 是运动员，则命题“有些女同志既是教练员又是运动员”的逻辑符号化为(()()())x W x J x L x ∃∧∧．5、设个体域D ：实数域， (,)S x y ：x y =，则命题“存在着实数x ，对所有的实数y ，都有x y =”的逻辑符号化为(,)x yS x y ∃∀．6、设D ：全总个体域，()R x ：x 是实数， (,)S x y ：x y =，则命题“对所有的实数x ，都存着实数y ，使得x y =”的逻辑符号化为(()(()(,))x R x y R y S x y ∀→∃∧．7、设个体域D ：人类， (,)G x y ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为(,)x y G x y ∀∀⌝．8、设D ：全总个体域，()A x ：x 是人， (,)G x y ：x 与y 一样高，则命题“所有的人都不一样高”的逻辑符号化为(()()(,))x y R x R y G x y ∀∀∧→⌝．9、设D ：全总个体域，()R x ：x 是质数，()B x ：x 是奇数，(,)C x y ：x y ≠，则命题“除2以外的所有质数都是奇数”的逻辑符号化为(()(,2)())x A x C x B x ∀∧→．10、设D ：全总个体域，()P x ：x 是大象，()Q x ：x 是老鼠， (,)R x y ：x 比y 重， 则命题“大象比老鼠重”的的逻辑符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀．11、若已证()xA x ∃为真，则可假设某一确定的个体y 使()A y 为真，此推理规则被称为ES ．12、令Γ是公理与前提的合取，Γ中无x 的自由出现，若从Γ可推出()A x ，则从Γ也可推出()xA x ∀，此推理规则被称为UG ．三、问答题（每题6分）1、设个体域D ：实数域，(,)F x y ：x y =，(,)G x y ：x y <，说明谓词公式)),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀的含义，并指出其真值.答：对于任意两个实数,x y ，如果x y <，那么x y ≠ ；其真值为1.2、设D ：全总个体域，()S x ：x 是大学生，()L x ：x 是明星，(,)H x y ：x 崇尚y ， 说明谓词公式(()()(,))x y S x L y H x y ∃∃∧∧⌝的含义，并指出其真值.答： 有些大学生不崇尚某些明星；其真值为1.3、若个体域{2,4}D =，(,)H x y ：x y >，则谓词公式(,)x yH x y ∀∃为真吗？为什么？ 答：为假；(,)(2,)(4,)x yH x y yH y yH y ∀∃⇔∃∧∃((2,2)(2,4))((4,2)(4,4))(00)(11)0H H H H ⇔∨∧∨⇔∨∧∨⇔.4、若个体域{1,3,6}D =-，()S x ：3x >，()Q x ：5x =,a ：3，P :53>，则谓词公式(()())x S x Q a P ∃→∧为真吗？为什么？答：为真；(()())(((1)())((3)())((6)()))1x S x Q a P S Q a S Q a S Q a ∃→∧⇔-→∨→∨→∧((00)(00)(10))1(110)11⇔→∨→∨→∧⇔∨∨∧⇔.5、谓词公式(,)(,)x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀为真吗？为什么？答：不为真；设个体域D ：实数域，(,)P x y ：0x y +=，则(,)(,)100x yP x y y xP x y ∀∃→∃∀⇔→⇔.6、谓词公式(()())()()x A x B x xA x xB x ∃→⇔∀→∃为真吗？为什么？答：为真；(()())(()())()()x A x B x x A x B x x A x xB x ∃→⇔∃⌝∨⇔∃⌝∨∃.()()()()xA x xB x xA x xB x ⇔⌝∀∨∃⇔∀→∃.四、证明题（每题10分）1、求证：(()())()()x y A x B y xA x yA y ∀∀→⇔∃→∀．证明：左(()())()()x y A x B y x A x yB y ⇔∀∀⌝∨⇔∀⌝∨∀()()()()xA x yB y xA x yA y ⇔⌝∃∨∀⇔∃→∀⇔右．2、设个体域{,,}D a b c =，求证：()()(()())xA x xB x x A x B x ∀∨∀⇒∀∨．证明：左(()()())(()()())A a A b A c B a B b B c ⇔∧∧∨∧∧(()(())(()())(()())A a B a A a B b A a B c ⇔∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A b B a A b B b A b B c ∧∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A c B a A c B b A c B c ∧∨∧∨∧∨(()(())(()())(()())A a B a A b B b A c B c ⇒∨∧∨∧∨(()())x A x B x ⇔∀∨⇔右．3、用逻辑推理规则证明：(()(()())),(()()),(),(()())()().x P x Q x R x Q a R a S a x S x G x P a G a ∀→∧⌝∧∀→⇒⌝∧证明：⑴))()(()(x P x Q x xP ∧→∀ P⑵ ))()(()(a P a Q a P ∧→ T ⑴（US ）⑶ ))()((a R a Q ∧⌝ P⑷ )(a P ⌝ T ⑵，⑶（拒取式）⑸(()())x S x G x ∀→ P⑹)()(a G a S → T ⑸（US ）⑺ )(a S P⑻ )(a G P ⑹，⑺（假言推理）⑼ )()(a G a P ∧⌝ T ⑷，⑻（合取式）．4、用逻辑推理规则证明：(()()),(()())(()())x F x G x x R x G x x R x F x ∀→∀→⌝⇒∀→⌝． 证明：⑴(()())x R x G x ∀→⌝P⑵()()R c G c →⌝ T ⑴（US ）⑶(()())x F x G x ∀→ P⑷()()F c G c → T ⑶（US ）⑸()()G c F c ⌝→⌝ T ⑷（逆反律）⑹()()R c F c →⌝ T ⑵，⑸（假言三段论）⑺(()())x R x F x ∀→⌝ T ⑹（UG ）． 5、用逻辑推理规则证明：(()()),(()()),()()x F x G x x G x R x xR x xF x ∀∨∀→⌝∀⇒∀． 证明：⑴()xR x ∀ P⑵()R c T ⑴（US ）⑶(()())x G x R x ∀→⌝ P⑷()()G c R c →⌝ T ⑶（US ）⑸()G c ⌝ T ⑵，⑷（拒取式）⑹(()())x F x G x ∀∨ P⑺()()F c G c ∨ T ⑹（US ）⑻()F c T ⑸，⑺（析取三段论）⑼()xF x ∀ T ⑻（UG ）． 6、用逻辑推理规则证明：(()())(()()),(()())(()())x F x I x y M y N y y M y N y x F x I x ∃∧→∀→∃∧⌝⇒∀→⌝． 证明：⑴(()())y M y N y ∃∧⌝ P⑵(()())y M y N y ∃⌝⌝∨ T ⑴(德.摩根律)⑶(()())y M y N y ∃⌝→ T ⑵(蕴含表达式)⑷(()())y M y W y ⌝∀→ T ⑶(量词否定)⑸(()())(()())x F x I x y M y N y ∃∧→∀→ P⑹(()())x F x I x ⌝∃∧ T ⑷，⑸（拒取式）⑺(()())x F x I x ∀⌝∧ T ⑹(量词否定)⑻(()())x F x I x ∀⌝∨⌝ T ⑺(德.摩根律)⑼(()())x F x I x ∀→⌝ T ⑻(蕴含表达式) ．7、用逻辑推理规则证明：()((()())()),(),()(()())xP x x P x Q x R x xP x xQ x x y P x R y ∃→∀∨→∃∃⇒∃∃∧． 证明：⑴()xP x ∃ P⑵()((()())())xP x x P x Q x R x ∃→∀∨→ P⑶((()())())x P x Q x R x ∀∨→ T ⑴，⑵（假言推理）⑷)(e P T ⑴（ES ）⑸()xQ x ∃ P⑹)(d Q T ⑸（ES ）⑺)())()((d R d Q d P →∨ T ⑶（US ）⑻)()(d P d Q ∨ T ⑹（加法式）⑼)(d R T ⑺，⑻（假言推理）⑽)()(d R e P ∧ T ⑷，⑼（合取式）⑾(()())y P e R y ∃∧ T ⑽（EG ）⑿(()())x y P x R y ∃∃∧ T ⑾（EG ）．8、用逻辑推理规则证明：()(()()()),()()xF x y F y G y R y xF x xR x ∃→∀∨→∃⇒∃． 证明：⑴()xF x ∃P⑵()F c T ⑴（ES ）⑶()(()()())xF x y F y G y R y ∃→∀∨→ P⑷(()()())y F y G y R y ∀∨→ T ⑴，⑶（假言推理）⑸()()()F c G c R c ∨→ T ⑷（US ）⑹()()F c G c ∨ T ⑵（加法式）⑺()R c T ⑸，⑹（假言推理）⑻()xR x ∃ T ⑺（EG ）． 9、用逻辑推理规则证明： (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀→⇒∃→∃.证明：⑴()xP x ∃ P （附加前提）⑵()P a T ⑴（ES ）⑶(()())x P x Q x ∀→ P⑷()()P a Q a → T ⑶（US ）⑸()Q a T ⑵，⑷（假言推理）⑹()xQ x ∃ T ⑸（EG ）⑺()()xP x xQ x ∃→∃ CP ． 10、用逻辑推理规则证明：(()()),(()())()()x F x G x x G x R x xR x x F x ∀→⌝∀∨⇒⌝∀→∃⌝.证明：⑴()xR x ⌝∀P （附加前提） ⑵()x R x ∃⌝T ⑴（量词否定） ⑶()R a ⌝T ⑵（ES ） ⑷(()())x G x R x ∀∨P ⑸()()G a R a ∨T ⑷（US ） ⑹()G aT ⑶，⑸（析取三段论） ⑺(()())x F x G x ∀→⌝P ． ⑻()()F a G a →⌝T ⑺（US ） ⑼()F a ⌝T ⑹，⑻（拒取式） ⑽()x F x ∃⌝ T ⑼（ES ） ⑾()()xR x x F x ⌝∀→∃⌝CP ．11、证明下列命题推得的结论有效：凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数.证明：设个体域为整数集，(,)D x y ： x 是y 的倍数.该推理就是要证明： ))3()15((，，x D x D x →∀，))5()15((，，x D x D x →∀，15((5)(3))xD x x D x D x ∃⇒∃∧（，），，⑴ ），（15x xD ∃ P ⑵ 15D a （，） T ⑴（ES ）⑶ ))3()15((，，x D x D x →∀ P ⑷(15)(3)D a D a →，， T ⑶（US ） ⑸(,3)D a T ⑵，⑷（假言推理）⑹))5()15((，，x D x D x →∀ P ⑺(15)(5)D a D a →，， T ⑹（US ） ⑻(,5)D a T ⑵，⑺（假言推理）⑼(,5)(,3)D a D a ∧ T ⑸，⑻（合取式）⑽))3,()5,((x D x D x ∧∃ T ⑼（EG ）．12、证明下列命题推得的结论有效：教师都上课，有一个人不上课，则该人一定不是教师. 证明：设个体域D ：人类，():S x x 是教师，():E x x 上课.该推理就是要证明： (()())x S x E x ∀→，(())x E x ∃⌝⇒(())x S x ∃⌝.⑴(())x E x ∃⌝ P⑵()E a ⌝ T ⑴（ES ）⑶(()())x S x E x ∀→ P⑷()()S a E a → T ⑶（US ）⑸()S a ⌝ T ⑵，⑷（拒取式）⑹(())x S x ∃⌝ T ⑸（EG ）.13、证明下列命题推得的结论有效：只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行，故若考试准时进行，那么天气就好. 证明：设个体域D ：所有考生,P ：今天天气好,Q ：考试准时进行,()A x ：x 提前进入考场. 该推理就是要证明：()P x A x ⌝→∃⌝,()xA x Q ∀↔Q P ⇒→.⑴()P x A x ⌝→∃⌝ P⑵()P xA x ⌝→⌝∀ T ⑴（量词否定）⑶()xA x P ∀→ T ⑵（逆反律）⑷()xA x Q ∀↔ P⑸(())(())xA x Q Q xA x ∀→∧→∀ T ⑷（等值表达式）⑹()Q xA x →∀ T ⑸（简化式）⑺Q P → T ⑹，⑶（假言三段论）.14、证明下列命题推得的结论有效：舞者皆有风度，学生王华是舞者，则某些学生有风度. 证明：设D ：全总个体域,()P x ：x 是舞者,()Q x ：x 有风度,()S x ：x 是学生, a ：王华. 该推理就是要证明： ))()((x Q x P x →∀，)()(a P a S ∧(()())x S x Q x ⇒∃∧.⑴)()(a P a S ∧P⑵))()((x Q x P x →∀ P⑶)()(a Q a P → T ⑵（US ）⑷ )(a P T ⑴（简化式）⑸ ()Q a T ⑶，⑷（假言推理）⑹ )(a S T ⑴（简化式）⑺)()(a Q a S ∧ T ⑸，⑹（合取式）⑻)()((x Q x S x ∧∃ T ⑺（EG ）． 15、证明下列命题推得的结论有效：所有计算机都是电器，某些计算机是手提电脑，因此，某些手提电脑是电器．证明：设D ：全总个体域，()Q x ：x 是计算机，()R x ：x 是电器，()Z x ：x 是手提电脑． 该推理就是要证明：))()(()),()((x Z x Q x x R x Q x ∧∃→∀⇒ ))()((x Z x R x ∧∃．⑴))()((x Z x Q x ∧∃ P⑵ )()(a Z a Q ∧ T ⑴（ES ）⑶ )(a Q T ⑵（简化式）⑷ ))()((x R x Q x →∀ P⑸ )()(a R a Q → T ⑷（US ）⑹ )(a R T ⑶，⑸（假言推理）⑺ )(a Z T ⑵（简化式）⑻ )()(a Z a R ∧ T ⑹，⑺（合取式）⑼ ))()((x Z x R x ∧∃ T ⑻（EG ）．。