x2
二、二维离散型随 机变量
X和Y 的联合概率函数
P(X xi ,Y yj) pij,
i, j =1,2, …
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk) pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
为了直观，一般用表格表示联合分布律
y2 2
]1 x2
dx
4 21
K
y x2
1
K 21 4
(2)
P( X Y ) 21 x2 ydxdy
4 D1
21
1
dx
x x2 ydy
④ 对于任意x1 < x2 , y1 < y2
F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1) 0
事实上
y2
F (x2, y2) – F (x1, y2 ) – F (x2, y1) + F (x1 , y1)
y1
P x1 X x2, y1 Y y2 0 x1
kx2 y, x2 y 1
f (x, y) 0,
其它
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ; (2) P ( X > Y )
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
D
1
K
1 x2 ydxdy
1 x2
1
K
1
dx
1 x2 ydy
1
x2
K1 1x2[ Nhomakorabea一维随机变量X
F(x, y) P(X x,Y y) x, y
X的分布函数
F(x) P(X x) x
{X x,Y y} 表示 {X x}与的{Y y} 积事件
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等.
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
一、二维随机变量（X,Y） 的联合分布函数
§3.1二维随机变量的分布函数、 边缘分布
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几个随机变量来描述.
Y X
y1
y2
L
x1 p11 p12 L
x2 p21 p22 L
ML L L
xi pi1 pi2 L
ML L L
yj L p1 j L p2 j L LL pij L LL
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求 (X,Y)的概率函数 .
0
y)]02
dx
A
2
[
cos(
x
)
cos
x]dx
0
2
y
2
2
x
A 1 2
y
(2) P{(X ,Y ) G}
1 sin(x y)dxdy
2
4
G
2
dy 2
y
1
sin(x
y)dx
4
0
0
y2
1
2
y
4 0
[
cos(x
y)]
2 y
dy
1 4
[sin
2
y]04
1 4
y=x
x y
2
x
2
例3 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为
y (x, y)
x
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F (, )
lim F (x, y) 1
x
y
F (, )
y
lim F (x, y) 0 x y
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F (x, ) lim F (x, y) 0
y
F(, y)
lim F(x, y) 0 x
f (x, y)dxdy
A
一维随机变量X 连续型
X的密度函数
P{a X b}
b
a f (x)dx
f (x) 0
f (x)dx 1
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对 于任意实数 x , y 有
xy
F (x, y) f (u,v)dvdu
Asin(x
y),
0 x ,0 y ,
2
2
0,
其它
(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由
y x, x y 及
y0
所围区域G内的概率
2
解 (1)
f (x, y)dxdy 1
f (x, y)dxdy 1
D
2 2 Asin(x y)dxdy 00
A
2 [ cos(x
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减
固定 x , 对任意的 y1< y2 ,
F (x, y1) F (x, y2)
固定 y , 对任意的 x1< x2 ,
F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8
P(X=1,
Y=1)=
c
1 3
(1/2)3=3/8
P(X=2, Y=1)=3/8
列表如下
P(X=3, Y=3)=1/8
三、二维连续型随 机变量
X和Y 的联合密度函数
f (x, y)
P{( x, y) A}
4 若G 是平面上的区域，则
P( X ,Y ) G f (x, y)dxdy
G
对于二维连续型随机变量有
P( X = a ,Y = b ) = 0 P( X = a ,- < Y < + ) = 0 P(- < X < + , Y= a ) = 0
例2 设（X，Y）具有概率密度
f
(x,
y)
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.
联合密度的性质
1 f (x, y) 0
2 f (x, y)dydx 1
3 对每个变量连续, 在 f (的x, 连y) 续点处
2F f (x, y) xy