一、填空题(每小题3分，共15分)
1. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则k 满足( k>1 ).
2. A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-|4|*1A A ( -4 ).
3. A 为5×3矩阵, R (A ) = 3, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300020201B , 则R (AB ) = ( 3 ).
4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，-1，则1
*21-⎪⎭⎫ ⎝⎛A 的特征值为( -1,-2,1 ). 5. 设,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=10200912009A . 二、单选题(每小题3分，共15分)
1. 已知A 为n 阶方阵，且满足A 2 = 2E ， E 为单位阵，则=--1)(E A （ A ）.
(A)A E + (B)A E - (C)E A - (D) A
2. n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( C ).
(A) A 是实对称阵 (B) A 有n 个互异特征值
(C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的特征向量两两正交
3. 已知线性方程组的系数矩阵A 是54⨯矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ C ）.
(A) A 的列向量组线性无关
(B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关
(C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关
(D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关
4. 矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ B ）.
(A) R (A ) = R (B ) (B) A = B (C) B A = (D) A 与B 有相同的特征值
5. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ A ）.
(A) 0||0=-E A λ (B) 0||0≠-E A λ
(C) 0=-E A 0λ (D) 0≠-E A 0λ
三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)
1. 设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则|A | = |B | . （ √ ）
2. 若A 可逆，则A 的伴随矩阵A *也可逆. （ √ ）
3. 若Ax = b （b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ √ ）
4. 如果n 维向量组321,,ααα，对于任意一组不全为零的数321,,k k k ，总有0≠++332211αααk k k 成立， 则向量组321,,ααα线性无关. （ √ ）
5. 设A 、B 为同阶方阵，则必有(A + B )(A －B )＝A 2－B 2 （ × ）
四、(10分)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程1T 1)2(--=-C A B C E ，试求矩阵A ，
其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1000210032102321B , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1000210002101021C . 设4阶方阵A 、B 、C 满足方程
，试求矩阵A ，其中
,
Solution 根据，得，于是，所以. 由于，因此, 故
.
五、(10分)设3阶方阵A 的三个特征值为,1,2,2321=-==λλλA 的属于3
21,,λλλ的特征向量依次为,011,111,110321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα求方阵A .
设3阶方阵A 的三个特征值为A 的属于的特征向量依次为
求方阵A .
Solution 令，则. 由于，于是
六、(10分)设矩阵),,,(4321ααααA =, 其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=,向量4321ααααb +++=, 求线性方程组b Ax =的通解. 由于线性无关，, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量. 由, 即，得 ，因而是Ax = 0的基础解系. 又因为，所以, 于是是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为
,
其中k 为任意常数.
七、(10分) 三阶方阵A ≠ 0,0=2A ，证明：矩阵A 的秩R (A ) = 1. 因为，于是因此. 又因为A 10，所以，
所以.
八、(15分)讨论λ为何值时，线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3
)1(0)1(x x x x x x x x x
(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.
(1) 当时，有，方程组有唯一解.
(2) 当时，增广矩阵为. 于是，方程组有无穷多解，解为，(k 为任意常数)
(3) 当时，增广矩阵为，由此可知 原线性方程无解。