取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1
xn
x3 n1
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
18
一、差商(均差)
定义1. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n
6 (x xk )(x xk1)(x xk2 )
, x [xk , xk2 ].
|R2 ( x)|
1 max |
6 axb
f
(
x)
|
max
xk xxk2
|
(
x
xk
)( x
xk
1 )( x
xk 2
)
|
1 6
M
3
2
3 9
h3
3 27
M 3h3
10
例: 设f (x)在各节点处的数据为
i0
1
2
因此 则
若f (x)在[a,b]上连续
lim
h0
L1
(
x)
f (x)
11 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 00 -0.2-0.2 -0.4-0.4 -0.6-0.6 -0.8-0.8 -1 -1
-4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 34 4 4
x0 )(0.36 x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(0.36 ( x2
x0 )(0.36 x0 )( x2
x1 ) x1 )
0.36686
13
f (0.42)
L(0) 2
(0.42)
y0
(0.42 ( x0
x1 x1
)(0.42 )( x0
x2
x2 )
)
y1
(0.42 ( x1
L(1k )( x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
k 0,1,,n 1
11
f (0.36) L(10)(0.36)
0.301630.36 0.4 0.3 0.4
0.410750.36 0.3 0.4 0.3
0.36711
f (0.42)
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk , xk 1 ],且与x有关
|R1 ( x)|
1 max |
2 axb
f
(x) | max xk xxk1
| (x
xk )(x xk1) |
1 2
M2
1 4
h2
1 8
M 2h2
其中
M2
max |
a xb
f
(
x)
|,
h
max
0k n1
hk
,
hk
xk1 xk.
16
考虑多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 )(x xn1 )
显然线性无关， 因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函数值为 fi , i 0,1,, n
插值条件为 P(xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
( x*)
还是
y*
L(k ) 2
( x*)
7
一般
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk ,则
y*
L(k 1) 2
( x*)
k 1, 2, , n 1
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk 1 ,则
y* L(2k) (x*)
k 1, , n 2
若x* x1 (含x* x0 ),则
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k i0
( xi
x0 )(xi
f (xi ) xi1 )( xi
xi1 )(xi
xk
20
)
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f [x0 , x1 , x2 ] f [x0 , x2 , x1 ] f [x2 , x1 , x0 ]
若xk x* xk 1
则 y* L1( x*) L(1k )( x*)
yk
x * xk 1 xk xk 1
yk 1
x * xk xk 1 xk
内插
若x* x0
ห้องสมุดไป่ตู้外插
取
y* L1( x*)
L(10)( x*)
y0
x * x1 x0 x1
y1
x * x0 x1 x0
若x* xn
外插
2. 分段线性插值的误差估计
由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为
Rn (x) f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
那么分段线性插值 L1(x)的余项为
R1(x) f (x) L1(x) f ( x) L(1k )( x)
f
(
2
)
(
x
构造Lagrange二次插值
L(2k ) (x) yklk (x) yk1lk1(x) yk2lk2 (x) k 0, 2, , n 6 2
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
xk xk
)(x xk2 ) )(xk1 xk2
三、分段低次插值的算法设计(略)
15
§ 3.4 Newton插值法
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2,,n
形式上太复杂,计算量很大, 新增一个节点时, 每个基函数必须 重新计算, 人们希望增加一个节点时, 前面的计算结果对于后 来的计算仍有用. 为此, 下面介绍一种具有结果继承性的插值 法--- Newton插值法
x0 x0
)( )(
0.42 x1
x2
x2 )
)
y2
(0.42 ( x2
x0 )(0.42 x1 ) x0 )( x2 x1 )
0.43281
f (0.75)
L(3) 2
(0.75)
y3
(0.75 ( x3
x4 )(0.75 x5 ) x4 )( x3 x5 )
y4
(0.75 ( x4
L(11 ) (0.42)
0.410750.42 0.55 0.4 0.55
0.578150.42 0.4 0.55 0.4
0.43307
同理
f (0.75) L(13)(0.75) 0.81448
f (0.98) L(14)(0.98) 1.10051
f (1.1)
L(14 ) ( 1.1)
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36,0.42,0.75,0.98,1.1处的近似值(用分段线性、二 次插值)，
解: (1). 分段线性Lagrange插值的公式为
x3 )(0.75 x5 )( x4
x5 ) x5 )
y5
(0.75 ( x5
x3 )(0.75 x4 ) x3 )( x5 x4 )
0.81343
f (0.98)
L(3) 2
(0.98)
1.09784
f (1.1)
L(3) 2
(1.1)
1.2514513
分段低次Lagrange插值的特点 计算较容易 可以解决Runge现象 但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点 插值多项式在节点处不可导
5
二、分段二次Lagrange插值 1. 分段二次插值的构造