2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+√22QB的最小值．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限， ∴∠BOD ＝60°， ∴sin ∠BOD =BD OB =√32，cos ∠BOD =OD OB =12， ∴BD =√32OB ＝2√3，OD =12OB ＝2， ∴B （﹣2，2√3），设过点A （4，0），B （﹣2，2√3），O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ， ∴{16a +4b +c =04a −2b +c =2√3c =0，解得：{a =√36b =−2√33c =0，∴抛物线的函数解析式为y =√36x 2−2√33x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣2√3）2＝p 2﹣4√3p +28，①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42 解得：p 1＝2√3，p 2＝﹣2√3，当p ＝﹣2√3时，∠POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上， ∴p ≠﹣2√3， ∴P （2，2√3），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣4√3p +28＝42 解得：p 1＝p 2＝2√3， ∴P （2，2√3）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣4√3p +28， 解得：p ＝2√3， ∴P （2，2√3）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，2√3）；（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC +12OM ＝MC +KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK •OA ，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM=12，即：MC +12OM ＝MC +KM ＝CK ， CK =√42+33=5，即：MC +12OM 的最小值为CK ＝5．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求△APB 的面积；′（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作⊙M ，点Q 是⊙M 上一动点，求QB '+√22QB 的最小值．【解答】解：（1）∵D （m ，m ），OD =√2m ，四边形CODM 为菱形， ∴OD ＝OC ＝2=√2m ， ∴m =√2， ∴D （√2，√2）；（2）∵y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点， ∴联立{y =x 2−2mx +m 2+m y =x +2，解得{x 1=m −1y 1=m +1，{x 2=m +2y 2=m +4，∵点A 在点B 的左侧，∴A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4），∴AB =√(m −1−m −2)2+(m +1−m −4)2=3√2， ∵直线OD 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴AB ∥OD ，两直线AB 、OC 之间距离h ＝2×√22=√2， ∴S △APB =12AB •h =12×3√2×√2=3；（3）∵A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4）， ∴AM ＝1×√2=√2，BM ＝2×√2=2√2，由M 点坐标（m ，m +2），D 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）﹣m ＝2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，∴MN =12BM =12×2√2=√2， ∵MN QM=QM BM=√22，∠QMN ＝∠BMQ ， ∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB=MN QM=√22， ∴QN =√22QB ，由三角形三边关系，当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+√22QB 最小， ∵直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点B 、B ′关于对称轴对称， ∴∠BMB ′＝90°，由勾股定理得，QB ′+√22QB 最小值为B 'N =√B′M 2+MN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10． 即QB '+√22QB 的最小值是√10．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点M （﹣4，6）和点N （2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ①试判断△ABC 的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PM +PC 的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：{16a −4b −4=64a +2b −4=−6，解得：{a =14b =−32， 故抛物线的表达式为：y =14x 2−32x ﹣4；（2）①y =14x 2−32x ﹣4，令y ＝0，则x ＝﹣2或8，x ＝0，则y ＝﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4）， 则函数的对称轴为：x ＝3， 则AB ＝10，BC =√80，AC =√20，则AB 2＝BC 2+AC 2，故△ABC 为直角三角形；②作点M 关于函数对称轴的对称点D （10，6）， 连接CD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点CD 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝﹣1，故点P （3，﹣1）， 此时PM +PC 的值最小为CD ＝10√2．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入解析式得， ∴{−1−b +c =0c =3， 解得b ＝2，c ＝3．故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3，故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解{y =x +3y =−x 2+2x +3 得{x =0y =3 或{x =1y =4，∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC =√2t ， ∴√2t ＝﹣t 2+3t ， 解得t ＝0或t ＝3−√2， 此时P （3−√2，√2）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3−√2，√2）．（3）CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，−√3），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y=√33x−√3，∴tan∠GBO=√33，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴B′M=12 BM，∴CN+MN+12MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+12MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为y=−√3x+b，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为y=−√3x+3，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3−√3），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（√3，0）．∵CG＝3+√3，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+√3）×√32=3√3+32，综上所述：CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y=−√33x+√3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，√3），则c=√3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−√3 3，故抛物线的表达式为：y=−√33x2+2√33x+√3；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，√3），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，√3）；（3）存在，理由：点P（2，√3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移√3m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，√3m）、（2﹣3m，√3m+√3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y=√3x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y=√3x+（4√3m﹣3√3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y=−√33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=−√33（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，√3m−√3），而P′（2﹣3m，√3m+√3），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2√3．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH 表达式中的k 值为√33，则直线CH 的表达式为：y =−√3x +3， 当x ＝1时，y ＝3−√3，当y ＝0时，x =√3， 故点N 、M 的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0）， CN +MN +12MB 的最小值＝CH ＝CM +FH =3+3√32． 8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．【解答】解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2， 当x ＝0时，y ＝2， ∴C （0，2）， ∴OC ＝2，当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝﹣1， ∴A （﹣1，0），B （4，0）， ∴OA ＝1，OB ＝4，由勾股定理得：AC =2+12=√5，BC =√22+42=2√5； 故答案为：√5，2√5； （4分） （2）∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，−12x2+32x+2），则D（x，−12x+2），∴PD＝（−12x2+32x+2）﹣（−12x+2）=−12x2+2x，有S=12PD•OB=12×4（−12x2+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC=√5，（10分）∴S=12BC•PH=12×2√5×√5=5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴PKAK =PHAC=√5=S√5√5=15S≤45；∴PKAK 的最大值是45．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a=1 4．故该抛物线解析式是：y=14（x+4）（x﹣2）或y=14x2+12x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得{−4m−2=0n=−2，解得{m=−12 n=−2，∴直线BC 的解析式为y =−12x ﹣2；作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图，设P （t ，14t 2+12t ﹣2），则Q （t ，−12t ﹣2），则PQ =−12t ﹣2﹣（14t 2+12t ﹣2）=−14t 2﹣t ， S △PBC ＝S △PBQ +S △PCQ =12•PQ •4=−12t 2﹣2t =−12（t +2）2+2，当t ＝﹣2时，△PBC 面积有最大值，最大值为2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，−12m ﹣2），P （m ，14m 2+12m ﹣2）， ∵PE =14OD ，∴|﹣m |＝4|−12m ﹣2−14m 2−12m +2|，∴m 2+3m ＝0或m 2+5m ＝0，∴m ＝﹣3，m ＝0（舍去）或m ＝﹣5，m ＝0（舍去）∴P （﹣3，−54）或P （﹣5，74）；（4）∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点M 为BC 与对称轴的交点时，MA +MC 的值最小，此时△AMC 的周长最小．∵直线BC的解析式为y=−12x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y=−3 2．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，−32）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2√2+2√5．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：{c=−2a−2a+c=−83，解得：{a=23c=−2．故抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2，令y ＝0，则0=23x 2−43x ﹣2∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC =√5，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2， 解得：{k =−2b =−2． ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2；当△AOC ∽△AEB 时S △AOCS △AEB =（AC AB ）2＝（√54）2=516， ∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165，∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC =AE AB =√5，∴AE AB =√55．。