第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。

设h (x )=f (x )+f (-x ), 则h (-x )= f (-x )+f (x )= h (x )。

故为偶函数。

2. 错。

y =2ln x 的定义域(0,+∞), y =ln x 2的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)。

定义域不同。

3. 错。

+∞=→201limxx 。

故无界。

4. 错。

在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。

01lim =-+∞→xx 逐渐增大。

6. 正确。

设A x f x x =→)(lim 0，当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内，有εε+<<-A x f A )(。

7. 正确。

反证法：设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续，则g (x ) =F (x )-f (x )，在x 0处F (x )，f (x )均连续，从而g (x )在x =x 0处也连续，与已知条件矛盾。

8. 正确。

是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sinlim 0=→xx x (A )4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--(B ) 6. 3092<⇒>-x x (D )7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是-10。

(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ，)(x f 连续，由介质定理可知。

(D )三、填空题题解1. 210≤-≤x ⇒31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数，关于原点对称。

3. 31=ω,πωπ62==T 。

4. y x -=,可以写成x y -=。

5. 设6t x =，1,1→→t x ，3211lim 11lim 21321=+++=--→→t t t t t t t 6. 2arctan π≤x 有界，01lim=∞→xx ，故极限为0。

7. 42)2sin(2lim )2sin(4lim222=--+=--→→x x x x x x x 8. c x c x c x x b ax x ++-=+--=++)1())(1(22⇒)1(,+-==c a c b ,而5)(lim 1=+-→c x x ，得c =6, 从而b =6, a=-7。

9. 1sin sin 1010)sin 1(lim )sin 1(lim --⋅-→→=-=-e x x xxx x xx10. 52522cos 15sin 522sin lim 5sin 2cos 2sin lim 5sin 2tan lim000=⋅⋅⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x x x11. 设u =e x -1，1ln 1)1ln(1lim )1ln(lim 100==+=+→→eu u u uu u 12. 由0=x 处连续定义，1lim )(lim 0===+-+→→xx x e a x a ，得：a =1。

四、解答题题解 1. 求定义域 (1) ⎩⎨⎧≥-≥⇒⎩⎨⎧≥-≥0)1(000x x x x x x , 定义域为),1[+∞和x=0 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0251512x x ⇒⎩⎨⎧≤≤-≤≤-5564x x ⇒定义域为]5,4[-(3) 设圆柱底半径为r ，高为h ，则v=πr 2h , 2r v h π=，则罐头筒的全面积⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r v r rh r S 22222πππ，其定义域为(0,+∞)。

(4) 经过一天细菌数为)1(0001r N r N N N +=+=，经过两天细菌数为201112)1()1(r N r N r N N N +=+=+=,故经过x 天的细菌数为xr N N )1(0+=，其定义域为[0,+∞)。

2. 12)(+-=x x x f ，41222)2(-=+---=-f ，)1( 12)(-≠+++-+=+b a b a b a b a f 。

3. ue y =,xt t v v u 1,sin ,3===。

4. 证明：)1()()1ln(ln )1(ln )]1([++=++=+=+x f x f x x x x x x f 。

5. 令x +1=t , 则x=t -1。

⎩⎨⎧≤<-≤≤-=⎩⎨⎧≤-<-≤-≤-==+32 , )1(221 , )1(211 , )1(2110 , )1()()1(22t t t t t t t t t f x f ，所以：⎩⎨⎧≤<-≤≤-=32 , )1(221 , )1()(2x x x x x f 。

6. 求函数的极限(1) 原式=343/113112/11211lim 11=----++→∞n n n 。

(2) 原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→1113121211lim n n n =1111lim =⎪⎭⎫⎝⎛+-→∞n n 。

(3) 原式=3211)1(3lim x x x x -++-→=112lim )1)(1()2)(1(lim 2121=+++=++-+-→→x x xx x x x x x x 。

(4) 原式=31323322lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n nn 。

(5) 原式=20sin 2sin 2limx x x x →=4sin 22sin 4lim 0=⋅⋅→x xx x x 。

（P289常见三角公式提示） (6) 原式=x x x x x arctan arcsin lim 210⋅→，令t x =arcsin ，则x t =sin ，1sin lim arcsin lim00==→→t txx t x 令t x =arctan ，则x t =tan ，1cos sin lim tan lim arctan lim000=⋅==→→→t t t t t x x t t x ，原式=21。

(7) 原式=()3tan 3122tan 31lim ⋅→+xx x=()3tan 31202tan 31lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x = e 3。

(8) 原式=122121221lim -⋅+→∞⎪⎭⎫⎝⎛++x x x =22121221lim ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→x x x ⋅11221lim -→∞⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x = e 2。

(9) 原式=)1sin 1(2sin 2sin lim 20++→x x x xx x =11sin 112sin 2sin lim220=++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x x x x x 。

(10) 令a x t -=，则t a x +=，原式=a t a t e te e =-→)1(lim0(填空题11)。

7. 221233sin 21a a a S =⋅=π，242233sin 2221a a a S =⋅⋅=π，26223233sin 2221a a a S =⋅⋅=π，⋯， 2211233sin 2221a a a S n n n n =⋅⋅=--π, ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n a S 414141322 =)(3341141141322∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛-n a a n8. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量(1) 0cos 1sin lim0=+→x xx ，为无穷小量。

(2) 01arctan lim 2=+→∞x xx ，为无穷小量。

(3) 0sin lim =⋅-∞→x e xx ，为无穷小量。

(4) ∞=+→xx x sin 1lim0，为无穷大量。

9. 比较下列无穷小量的阶3111lim31=--→x x x ，1)1(211lim 21=--→x x x ，当x →1时，1-x 与1-x 3是同阶无穷小。

1-x 与)1(212x -是等阶无穷小。

10. 当x →0时，x 2是无穷小量，当x →∞时，x 2是无穷大量；当x →±1时，321x x -是无穷小量，当x →0时，321xx -是无穷大量；当x →+∞时，e -x 是无穷小量，当x →-∞时，e -x 是无穷大量。

11. 16319)112()132()1()3(22=-=+⋅-+⋅=-=∆f f y 。

12. 1sin lim 0=-→x x x ，b b x x x =⎪⎭⎫⎝⎛++→1sin lim 0，∴b =1，2)0(+=a f =1，∴a=-113. []22111121)1(1lim lim e x xx x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-→-→，2 , )1()(lim 21=⇒=∴=→k e e f x f k x 14. 设2)(-=xe xf ，01)0(<-=f ，02)2(2>-=e f ，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x 0使得0)(0=x f ，即02=-xe 。

15. 设x b x a x f -+=sin )(，它在[0,a +b ]上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f ，若0)(=+b a f ，则a+b 就是方程0)(=x f 的根。

若0)(<+b a f ，由介质定理推论知：至少存在一点ξ∈(0, a+b ), 使得0)(=ξf ,即ξ是0)(=x f 的根。

综上所述，方程b x a x +=sin 至少且个正根，并且它不超过a+b 。

16. (1)312630126)0(0=+=e w (g )；(2)2630126lim 32max =+=-+∞→t t ew (g )；(3)t e 3230126226-+=⇒530ln 23≈=t (周)。

17. 设)()()(x g x f x F -=，则F (x )在[a,b ]上连续，0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ，由介质定理推论知：至少存在一点ξ∈(a, b ), 使得0)(=ξF 。

即)()(0)()(ξξξξg f g f =⇒=-。

所以)(x f y =与)(x g y =在(a,b )内至少有一个交点。

第二章 一元函数微分学习题题解(P66)一、判断题题解1. 正确。

设y =f (x ), 则00)lim (lim lim lim 0000=⋅'=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆y x x y x x y y x x x x 。