Z 3 2 e 3e 2 e 3 e 4
E 1 Z e 2 6 e 3e 2 4 e 3 Z Z (c )经典玻耳兹曼统计
13
7. 2. 1 量子热力学函数的统计表达式
理想费米和玻色气体统系在平衡态下，平均粒总子数为
N
N0
g e 1
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5 2.0 Maxwell-Boltzmann
第七章：量子统计
动机和目标 一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
1
第七章：量子统计
动机和目标 一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
4
§7.1 玻色子和费米子
自然界中的所有粒子，按照交换全同粒子时它们波 函数的行为，能被分类为以下两组中的一个。
让我们来看费米 。子 假情 设况 两个粒子 位在 置 r具相有同相同的 则波函数写 作 (r,r)，交换粒P 子有 ;又因为两个粒子 相同的态，P所 以 。 ，这导致的 结 (r,果 r)是 (r,r),当且仅当
(r,r)0 成立。0表示一个零概率 两态 个， 费即 米子不能 一占 个据 态同 。
6
式中， , 1 , ""为费米系统"，"为玻色系统。
kBT
kBT
对于T V 固定系统（粒子数和量能可变），定义巨配函分数
1 e-- g （读\ 于ln, 平均总粒子数和内过 能求 通导而给出：
N ln,
E
e
g 1
P(r1,r2) (r2,r1), 再一次完成交换算符用作在两粒子波函数之，上有
P2(r1,r2) P(r2,r1) (r1,r2) 故算符满足P：2 1, P 1。
这表明交换两个粒子效的应是: 要么保持波函数不(变 对称波 函数，玻色子 )，要么波函数变一个号符(反对称波函数 ,费米子)。
从gi个量子态中挑N出 i个为粒子所占据，Ni有 !(ggi i! Ni )!
种可能的方式。那费 么米 ，系统对应于分 {N布 i}的微观态数：
WFD{Ni}
i
gi! Ni!(gi Ni )!
例如：
若某个能级 Ni上 3， ， gi7,则这个能级上的 是微观
WFD{Ni
3} (gi
gi! 7! 35 Ni)!Ni! 4!3!
其微分 d势 SdTpdVNd,由它可以确定所 学有 量热 ；
(2)以上公式对理想 体费 和米 玻气 色气体都 差成 别立 在ln， 于
的形式不同。
15
7.2.2 量子F-D、B-E分布与经典M-B分布的比较
n ( j )
N
0 j
gj
1 e ( j ) / kBT
a
1，
a
1，
0
,
F D 统计 B E 统计 M B 统计
玻色自 子旋 ：为(n整 0数 ,1,2,),波函数具有对称性 费米自 子旋 ：为半 (n整 1数 ,3,),波函数具有反对
22
基本粒子 费米子：电子、质子、中子等； 玻色子：光子、π介子、K介子等； 复合粒子：构成部分的自旋相加来判断属性。
5
设粒子的波函数为 (r1,r2)，这里r1和r2分别是两个粒子的 位置。用P代表交换算符，其有下如功能：
与经典玻耳兹曼统样 计的 一拉格朗日乘子求 法极 ，值。
Ni0
1 e(i )
1gi
(正号为费米系，负玻 号色 为系)
ni0
Ni0 gi
1 e(i )
1gi
讨论：为了保证分布函数对任何能级恒正，对于
玻色系统，化学势应为负值（相当于该系统具有
吸引粒子的功能）；对于费米系统，化学势可正
可负。
12
【例7.1】
一、量子统计的出发点
设一个系统i(的 i0能 ,1,2, 级 )，为 能i上 级有 gi个 量子态， N个现 粒有 子按单0粒 ,1,子 2, 的 能级
一种{分 Ni}配 {N0,N1,N2, }
二、量子系统的微观态数 1）费米系统的微观态数
粒子不可分辨（编号），每一个量子态只能容纳一 个粒子。
9
Ni个粒子占据能i级 上的gi个量子态 (gi Ni ),相当于
泡利不相容原理： 对于玻色子，在一个量子态能有任何数目的粒子； 对于费米子，在一个量子态仅能有0个或1个粒子。
W. Pauli，1900-1958，获1945年诺贝尔物理学奖。
7
第七章：量子统计
一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
8
§7. 2 费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布
10
2）玻色系统的微观态数 粒子不可分辨（编号），每一个量子态容纳的粒子数 不受限制。
1
2 34
5
67 8
9
最左边固定为1量 ，子 其态 余的量子态总 和数 粒是 子 (Ni gi 1)个，将它们排列 (Ni共 g有 i 1)！方式；然后 去除粒子之间、之 量间 子交 态换不引起态 新的 微结 观果
WBE{Ni}
i
(Ni gi 1)! Ni!(gi 1)!
例如：若某个能级 Ni上 3， ， gi7,则这个能级上的 是微观
WBE{Ni
3}(Ni (gi
gi 1)! 9! 84 1)!Ni! 6!3!
11
三、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布
考虑费米系统和玻统 色的 系微观状态W数 FD{Ni}和WBE{Ni} 的自然对数，在总数 粒和 子内能守恒的两束 个条 约件下，
ln
14
TdS dU pdV dN
dS
k B d ln
ln
ln
S
k B ln
ln
ln
F
E
TS
k
BT
ln
ln
G
N
N kBT
k BT
ln
注意：
F G k B T ln
(1)对于(T以 ,V,)为自变量的系统 力， 学 巨 势 为热 特性函数
由两个全同粒子组成的 求粒子遵从费米、玻色
体系，粒子可占据能级 和经典玻耳兹曼统计时
n n （ n 0,1,2）。 的配分函数和内能。
解：
Z
eEn n
n
式中， n是简并度，即系统取相 同能量的几种不同情况 。
(a )费米统计：
Z 1 2 e 2 e 2 e 3
E 1 Z e 2 4 e 3e 2 Z Z (b )玻色统计：