§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=，在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=，其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数，它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ，()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程：()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=，当m=0，方程退化为勒让德方程：()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题：m=0，意味着Φ=常数，与φ（方位角）无关，这在物理上代表轴对称问题。

其中（1）受边界条件“在x =1处有限”的限制，构成本征值问题，本征值：()1l l +本征函数：()0y x ，当l 为偶数，()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ，当l 为奇数，()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑，()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为：()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式，反推全部系数，可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此，可将勒让德方程的解可以表示为：()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数，为奇数勒让德多项式举例：()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ ， 1. 基本性质（1）()21n P x +为奇，()2n P x 为偶（2）()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅（3） ()()()11,11ll l P P =-=- （4）()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式（Rodriguez ） 证明：()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理，经l 次求导，凡是幂次小于lx 的项最后都为0，所以最后结果值保留不小于l 次幂的项，即22l k l -≥，即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰，令()()21l f x x =-，由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路，此积分叫做施列夫利积分；将c 取为圆心在z=x ，半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中，可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1，很容易求得()11l P =；当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外，()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤（前提是11x -≤≤，但cos x θ=，所以肯定11x -≤≤）4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者：()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模：若k l =，有：()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为：2l N ，即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族，任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ，（只有第一类间断点，且是有限个第一类间断点，有限个极值点） 都可以以()l P x 为“基矢”展开，即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性，展开系数l C 可以用前述正交性求得：()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证：把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述：勒让德多项式()l P x 的正交、完备性，使之可以作为“基矢”，任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开，这样的性质类似于傅里叶级数展开，称之为广义傅里叶展开。

例，将函数()3f x x =按勒让德多项式展开解法一： ()3l l l x C P x ∞==∑()131212l k l C x P x dx -+=⎰ 3x 为奇函数，所以只有当l 为奇，l C 才不会为0；可以判断展开式中除了13,C C ，其他都为0；因为()l P x 的最高次幂项lx ，所以3x 的展开式中最高含有()3P x ，所以()1133111121133225C x P x dx x xdx --⨯+===⎰⎰ ()133312311253225C x x x dx -⨯+=⋅⋅-=⎰ ⇒()()()()31133133255x C P x C P x P x P x =+=+ 解法二：已知 ()()()3313153,53222P x x P x x x x x ==-=- 我们可以凑出3x 的展开系数()()()33331253232323522525555x x x x P x x P x P x ⎛⎫=-+⋅=+=+ ⎪⎝⎭。