静安区“学业效能实证研究”学习质量调研九年级数学教改先锋 2012.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列运算正确的是 （A ）3931= （B ）3931±= （C ）3921= （D ）3921±=2．关于x 的方程012=--mx x 根的情况是（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定的3．函数x k y )1(-=中，如果y 随着x 增大而减小，那么常数k 的取值范围是（A ）1<k （B ）1>k （C ）1≤k （D ）1≥k4．在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，从中随机摸出两个球， 摸到的两个球颜色不同的概率是 （A ）41 （B ） 21 （C ）31 （D ）325．对角线互相平分且相等的四边形是（A ）菱形 （B ）矩形 （C ）正方形 （D ）等腰梯形 6．如果⊙O 1的半径是5，⊙O 2的半径为8，421=O O ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 （A ）内含 （B ）内切 （C ）相交 （D ）外离二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：2)23(-= ▲ ． 8．化简：=÷3a a 366▲ ．9．不等式组⎩⎨⎧<-≤-32,01x x 的整．数解．．是 ▲ ． 10. 方程x x =+6的根为 ▲ ． 11．函数3223+-=x x y 的定义域为 ▲ ．12．已知),0(0222≠=-+y y xy x 那么=yx▲ ． 13．如果点A 、B 在一个反比例函数的图像上，点A 的坐标为（1，2），点B 横坐标为2，那么A 、B 两点之间的距离为 ▲ ． 14. 数据3、4、5、5、6、7的方差是 ▲ ．15．在四边形ABCD 中，AB =CD ，要使四边形ABCD 是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．(只要填写一种情况)16．在△ABC 中，点D 在边BC 上， CD =2BD ，b BC a AB ==,，那么=DA ▲ ． 17．如图，点A 、B 、C 在半径为2的⊙O 上，四边形OABC 是菱形，那么由BC 所组成的弓形面积是 ▲ ．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 为AB 的中点，BC=3，31cos =B ，△DBC 沿着CD 翻折后, 点B 落到点E ，那么AE 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）化简：12)2()1(231-+-++--x x x x ，并求当13+=x 时的值． （第17题图）（第18题图）OCBA20．（本题满分10分）解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+++.116,21322y x yx y x y x21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分） 已知：如图，在□ABCD 中，AB =5，BC =8，AE ⊥BC ，垂足为E ，53cos =B ． 求：（1）DE 的长； （2）∠CDE 的正弦值．22．（本题满分10分第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）如果甲种商品装x 个集装箱，乙种商品装y 个集装箱，求y 与x 之间的关系式； （2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数．23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=CD =AD ， 点E 在BA 的延长线上，AE=BC ，∠AED=α．（1）求证：∠BCD =2α； （2）当ED 平分∠BEC 时，求证：△EBC 是等腰直角三角形．（第23题图）ABCDE（第21题图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图，一次函数1+=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．二次函数的图像与y 轴的正半轴相交于点C ，与这个一次函数的图像相交于点A 、D ，且10sin =∠ACB ． （1） 求点C 的坐标； （2） 如果∠CDB =∠ACB ，求这个二次函数的解析式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC =4，∠BOD =∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA =x ，CD =y ． （1） 求BD 长；（2） 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 当CE ⊥OD 时，求AO 的长．静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2012.4.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．B ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．32-； 8．32a ； 9．1,0,1-； 10．3=x ； 11．23-≠x ； 12．2-或1；13．2； 14．35； 15．AB //CD 或AD =BC 、∠B +∠C =180º、∠A +∠D =180º等； 16．a 31--； 17．332-π； 18．7．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题OACDBE（第25题图）14分，满分78分）19. 解：原式=111)2)(1(1+-+--x x x ……（3分） =)2)(1(23212--+-+-+x x x x x ………（2分）=)2)(1(122--+-x x x x ………………（1分） =21--x x ．…………………………（1分） 当13+=x 时，原式=233133213113+=-=-+-+．…………………………（3分） 20．解：设b y x a yx =+=+1,12，…………………………………………………………（2分）则⎩⎨⎧=-=+,16,23b a b a ………………………（2分） ⎪⎩⎪⎨⎧==.1,31b a ……………………（1分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,11,3112yx y x ………………………（1分） ⎩⎨⎧=+=+,132y x y x ……………………（1分） 解得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.2,1,1,22211y x y x ………………………………………………………………（2分）经检验：它们都是原方程组的解．……………………………………………………（1分）所以原方程组的解是⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.2,1,1,22211y x y x 21. 解：(1) ∵Rt △ABE 中，ABBEB =cos ，…………………………………………………（1分）∴BE=AB 3535cos =⨯=B . ……………………………………………………（1分）∴AE =4352222=-=-BE AB ，…………………………………………（2分）∵□ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠AEB =90º，AD =BC =8，………………（1分）∴DE=54842222=+=+AD AE ．………………………………………（1分）（2）∵CD =AB =5，CE =BC –BE =8–3=5，∴CD =CE ，………………………………（1分）∴∠CDE =∠CED=∠ADE ．………………………………………………………（1分）∴sin ∠CDE =sin ∠AD E =55544==DE AE .……………………………………（2分）22．解：（1）丙种商品装（)20y x --个集装箱，…………………………………………（1分）∴120)20(568=--++y x y x ，…………………………………………………（4分）∴x y 320-=．………………………………………………………………………（1分）（2）当5=x 时，55320=⨯-=y ，10552020=--=--y x ．………………（1分）∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是5、5、10，相应的每个集装箱装载商品总价值分别为96、90、100万元．………………（1分）20个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第10、11个分别是96、100万元．………………………………………………………………………………………（1分）∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是98210096=+（万元）．……………（1分）23．证明：（1）联结AC ，………………………………………………………………………（1分）∵梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠EAD =∠B ．……………………………………（1分）∵AE =BC ，AB =AD ，∴△DEA ≌△ABC ．………………………………………（1分）∵∠AED=α，∴∠BCA =∠AED =α．…………………………………………（1分）∵AD =CD ，∴∠DCA =∠DAC =∠ACB =α．……………………………………（2分）∴∠BCD =∠DCA +∠ACB = 2α．…………………………………………………（1分）（2）∵ED 平分∠BEC ，∴∠AEC =2∠AED =2α．∵梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，∴∠EAD =∠B=∠BC D = 2α=∠AEC ．…………………………………………（1分）∴CE=BC=AE ．……………………………………………………………………（1分）∴∠ECA =∠EAC =∠EAD +∠DAC =3α．…………………………………………（1分）∴∠ECB =∠ECA +∠ACB =4α．∵∠B +∠BEC +∠BCE =180º，∴2α+2α+4α=180º，…………………………（1分）∴∠ECB = 4α=90º．………………………………………………………………（1分）∴△EBC 是等腰直角三角形．24．解：（1）A （1-，0），OA =1，……………………………………………………………（1分）在Rt △AOC 中，∵1010sin ==∠AC AO ACB ，AC =10，…………………………（2分）∴OC =311022=-=-AO AC ，∴点C 的坐标（0，3）．……………………（1分）（2）当点D 在AB 延长线上时，∵B （0，1），∴B O =1，∴222=+=BO AO AB ，∵∠CDB =∠ACB ，∠BAC =∠CAD ，∴△ABC ∽△ACD ．………………………（1分）∴AB AC AC AD =，∴21010=AD ，∴25=AD ．…………………………………（1分）过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，∵DE //BO ，∴ABADAO AE OB DE ==， ∴5225===AE DE ．∴OE =4，∴点D 的坐标为（4，5）．…………………（1分）设二次函数的解析式为32++=bx ax y ，∴⎩⎨⎧++=+-=,34165,30b a b a …………………（1分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.25,21b a ∴二次函数解析式为325212++-=x x y ．…………………………（1分）当点D 在射线BA 上时，同理可求得点D （–2，–1），…………………………（2分）二次函数解析式为342++=x x y ．………………………………………………（1分）评分说明：过点C 作CG ⊥AB 于G ，当点D 在BG 延长线上或点D 在射线GB 上时，可用锐角三角比等方法得CG =2（1分），DG =32（1分），另外分类有1分其余同上．25．解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OAC =∠ODB ．………………………（1分）∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．……………………………………………（1分）∴ACODOC BD =，………………………………………………………………………（1分）∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9．……………………………………（1分）（2）∵△OBD ∽△AOC ，∴∠AOC =∠B ．……………………………………………（1分）又∵∠A =∠A ，∴△ACO ∽△AOB ．………………………………………………（1分）∴ACAOAO AB =，………………………………………………………………………（1分）∵13+=++=y BD CD AC AB ，∴413xx y =+，………………………………（1分）∴y 关于x 的函数解析式为13412-=x y ．…………………………………………（1分）定义域为10132<<x ．…………………………………………………………（1分）（3）∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ．∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ．……………（1分）∴AD =AO ，∴x y =+4，……………………………………………………………（1分）∴x x =+-413412．…………………………………………………………………（1分）∴1022±=x （负值不符合题意，舍去）．………………………………………（1分）∴AO =1022+．。