习题解答
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
解(1)原式= 2x( - 4) X3 + Ox(-1)x(-1)+ 1X1X8
-lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3 = -4；
(2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a' ■ b'
=3abc — a3 — — c3 ;
(3) 原式=1•&•c2 + l*c*a2 + l'a*62-l*6*a2~l*c'62-l,a*c2
=be2 + ca2 十 ab2 — ba? — cb2 — ac2
= c2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A2-a2) = (a-6)(Z>-c)(c-a);
(4) 原式=x(x + y)y + yx(x +，)+ (” + y)yx - (x +，)' 一 d -
=- 2(r + y).
2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
(1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2；
(3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3;
(5) 1 3 …(2n -1) 2 4 …(2”)；
(6) 1 3 …(2n — 1) (2”) (2n - 2)…2・
解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0;
(2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元 素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4；
(3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;
(4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3;
(5) 注意到这2刃个数的排列中，前n位元累之间没有逆序对.第n + 1位 元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“・1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数 2 0 1
⑴ 1 -4 -1
-1 8 3
1 1 1
(3)
a b c a2 b2 c2 • t
为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)；
4
为” -2;・・・；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数 为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)；
4
(6)与(5)相仿，此排列的前n + 1位元素没有逆序对；第”+2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第M + 3位元素2n - 4与它前面的2n - 3,2n - 1,2”， 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;…；末位元素2的逆序数为2(” - 1),故此 排列的逆序数为 2 + 4 + •••+2(M-1) =
»(M-1).
3. 写出四阶行列式中含有因子aNa23的项.
解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素, 而它们又分别位于第2列和第4列，即％和5或％和S2 •注意到排列1324
解仃)
12 0 2
1 2 0 2
尸严「2 4 12 4
0-72-4
10 5 2 0 O-lOr, 0 -15 2 -20
0 117
0 11.7 1 2 0 2 • 1 1 2 0 2
0 1 1 7 [3 + 15々 0 1 1. 7
0 -15 2 -20 口 +7巾 0 0 17 85
0 -7 2 -4 -: 0 0 9 45
=0 (因第3、4行成比例); 4 12 4 2 1 4 1
12 0 2 3-121 ; (2)
10 5 2 0 1 2 3 2 0 117 5 0 6 2 仃) 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有aua23的项为- a II a23a32a44 与 G"
a23aU°42 •
4.计算下列各行列式： -叽
bd bf ac
- cd
cf ae
de
ef -1
0-
.0 1
b
-1
0 -1 为-1) + - 2) + …+ 0 =寺打(幵 一 1)；
4
1
2
2
22
5
1
5 =0 (因有两行相同); 1
1 + a ad
按心展开z \ + ab ad -1 c 1 + cd ==_( -1)(-l)5
-1 1 + cd 0 -1 0
=(1 + ab)(l + cd) + ad
5.求解下列方程：
互不相等.
于是方程的解为：心=-3,2*2 =4、工产-/3；-b c e
C| T 6 -1 1 1
b - c : e ssassss abcdef
C广(T 1 -1 1
b c - e c宀 1 I -1 ri —d
⑶ D—^adf
“rd
ry^rf
abcdef
ri + ari
⑷ 0
-1
0
0 -1
0
0
1 +
-1
0 2.
0
0
0
-1 =4abcdef;
按门JR开
(一 1)( 一 1)' 1 + ab
-1
0 a 0
c 1
— Id
X +
1
2 -1
1
工+ =0；⑵ X
2 X
3 X 1
b
b解⑴左式=^為=（小） 1
工+ 1
1 J
0
1
工1
2
-1
JC -1
2 (文 + 3)
= (x + 3) 二 Cr + 3)(宀 3).
(2) 注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得 (x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(^-c) = 0. 因a ,6 ,c互不相等，故方程的解为：xx = a,x2 = Z>,j73 = c.
6.证明：
b2
2b = (a — b)3;
1
= (a_b)(a_c)(a_N)(方 _c)(6_〃)(c_d)(q 十为+ c + d);
-1
=(a - bY =右式;
(2)将左式按第1列拆开得
1
a 1 1
b c (4) a2 b2 ?
a4 b4 K d
d2
ax ay 十 bz az 十 bx
by ay 十 bz az 十 bx
左式二 ay az + bx ax 4 by + bz as：亠 bx ajc 亠 by
az cue + by ay + bz
bx QJC + by ay + bz =aD| + bD2 ■ ⑴
(2)
⑶ a2 (4 + 1)2 (a+2)2 (a + 3)2
b2 (6 + 1)2 0 + 2)2 (6 + 3)2
c2 (C+I)? (c + 2)2 Q + 3)2
d2 (d + l)2 (〃 + (〃 +
证(1)左式 a2 — b2 ab b1 b2 (a - b)2 ab - b2 b2
2(a ~ 6) Q - b 2b
U a b Lb
0 0 1
0 0 1 x
=(a3 + b3) y
z z
X
y ax by ay + bz ay +
bz az + bx az + bx
ax + by az + bx
ax + by
ay + bz
fl.
2a + 1
= (〃一a)(c-4)(/-a)
工 y
其中：工=c2(c + a)-(6c)(6 + a) = c(c2+ac-62-aA) = c(a + 6 + c)(c-6); y = d'(d 十
Q)- bd(b + a) = d(a + b 十 d)(d 一 b).其中 x ay + bz az + bx
JC ay + bz z
Cj - bci
y az + bx ax + by iMf~=7T7,,M a y az + bx x Cj T<4
z ar + by ay + bz z ax + by y
D=aDt + 6D2 = (a3 + 65) x y z
y z X
Z JC y
a2 2a + 1 2a+3 2a +5
b2 26+1 26+3 26 + 5
左 5k fli
Cy - C2 c2 2c + 1 2c + 3 2c + 5
C - Ci
d2 2d + \ 2d+ 3 2d+ 5 于是 二右式. y z C 一 "2
CJ-T& y ay + bz az + bx y z az + bx
C2 -呵
z az •卜 bx ax + by === b X ax + by b
X ax + by ay + bz 工 y ay + bz
26 + 1
2c + 1 =0 （因有两列相同）;
(4)左式二
r - g 尸2 -
a/| d2
1
0
B 0 b a
b(b — a) b2(b2 ~ a2) c2(c2
— a2)
1
b (c 一 a ) d(d — a )
dz (dl - a2)
1
各列珮公因子g）g）（D
ri — 6(6 + a)ri -.--—n-.( b・a)(c-a)Q-a) 62(6 + a)c2(c + a)J2(J + a)
1 1 1
0 c - b d - b
0 x y D
y y 兀 y