°﹣∠EAC，
∴EM= ，
∴∠BAE=∠DAC， ∴AM=
，
∴△DAC≌△EAB， ∴CD=BE．）
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形， ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN =a ：2 （2a）2 ：（ ）2 =1：4： =4：16：7
∴∠1=∠2,∠3=∠4, 而∠1+∠3=90°, ∴∠2+∠4=90°, 而∠ADC=90°, ∴∠EDF=180°,即E,D,F共线； 由旋转的性质得到△APE,△CPF均为等腰直角三角形, 并且ED=PB=2,DF=PB=2, ∴S△APE=0.5×1×1=0.5； S△CPF=0.5×3×3=4.5, 在△PEF中,PE=√2,PF=3√2,EF=4,
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形． （2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°， 即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO． ∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD． ∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α， ∠AOD==120°﹣， ∴190°﹣α=120°﹣， 解得α=140°． 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
∴PE=2 2 ∵PC=3，CE=PA=1， ∴PC 2=PE +2CE 2， ∴∠PEC=90°， ∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
（2）如图（3）四边形ABCD为正方形,PA=1,PB=2,PC=3, 把△PAB绕A点逆时针旋转90°得△EAD,把△CPB绕C点 顺时针旋转90°得△CFD,连PE,PF,如图,
B
B
P A
F P
C
A
（1）
C
（2）
解：如图2，∵△ABC是等边
三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6， ∵PP′2+PB2=62+82=100=P′B2，
把△APC绕点A逆时针旋转60°
∴△BPP′是直角三角形，
得由到旋△转A的P性′B，质，AP′=AP，P′B=PC=10，∠∴6∠0∠BP°PAAPPP+′=B9′=9=060∠°0°A°=P，1，P5′+0∠°B，PP′=
:解：（1）CD=BE． 理由如下： ∵△ABC和△ADE为
（2）△AMN是等边三角形．理由如下： ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点， ∴AM=AN，NC=MB． ∵AB=AC，
等边三角形，
∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AE=AD， ∴∠MAB=∠NAC，
∠BAC=∠EAD=60°， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°， ∵ ° ∠∠﹣ DAB∠CAE=EA∠=C∠D，ABEA﹣C﹣∠∠EAECA∴设易∴=C6△BA证=E0DA6=B=M0Ea⊥N，是A则C等，AD边=三AE角=D形E=，a，（A7B分=B）C=，AC=2a，
例3：如图（1），P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3 （1）∠APB=______． （2）求此正方形ABCD面积。
（1）
（2）
（3）
解：如图（2）将△APB绕B点顺时针旋转90° 并连接PE， ∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC， ∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC， ∴△BEP为等腰直角三角形， ∴∠BEP=45°， ∵PB=2，
解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ=∠ACA′=120°， ∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°， ∴A′C=AC=1/2 A′B′=2， ∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′=90° ∴CP=1/2 A′B′=2，EC=1/2×2=1， ∴EP=EC+CP=1+2=3． 故答案为：120；3．
∴PF2=PE2+EF2, ∴△PEF为直角三角形,∠PEF=90°, ∴S△PEF=0.5×EP×EF=0.5×√2×4=2√2 ∴S正方形ABCD=S五边形APCFE=S△PEF+S△APE+S△CPF=√2+5．
例:4：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， 将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为 (0°＜＜180°)，得到△A1B1C． (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．1和△BCB1的 面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a， 连接EP．当＝ °时，EP的长度最大，最大值为
∴△APP′是等边三角形，
故∠APB的度数是150°．
例2：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60° 得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？