数学与音乐的巧妙结合
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钢琴键盘上的斐波那契数列
1、2、3、5、8、13……的应用，如常见的曲 式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单 的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏 鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从 三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位 置有密切关系。
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例：3/4以四分音符为一拍，每小节三拍。 我们规定一个全音符=两个二分音符=四个四分音符 即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4 一个四分音符=两个八分音符 1/4=1/8+1/8 总的可以表示为： 1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）
演绎完美——数学与音乐的巧妙结合
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2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯 外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁 声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺 子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律， 音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。之后， 他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比 例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。 如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。 就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和 数学的联系。
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主要内容
基础乐理与数学
数学知识在音乐中的综合应用
乐器制作中的数学原理
数学家与音乐
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基础乐理与数学
本章主要是讲述乐理知识中的一些数学原理。其中包 括乐谱的书写中的一些数学表示方式，如：我国通用 的简朴就是用阿拉伯数字来表示的，不仅简单直观而 且方便抄写，是目前在中小学音乐教材中最常用的书 写方式。
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音乐中的数学变换
平移变换
对称变换
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平移变 换
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对 称 变 换
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上面所介绍的都只是一些小节之间的平移。除此之外， 在音乐作品当中的转调（移调）也是一种很普遍的方 式，将一首曲子全曲或者某个部分整体上行或者下行 几度变成另一个调性的曲子，在音乐中可以给人一种 耳目一新的层次感。这也是好多作曲家惯用的手法， 其实质就是将曲子整体的平移几度而已。
另外一点，我们知道琴颈上的品格（把位）是由宽到窄的， 每向前移动一品格，就升高半个音，而移动一个八度之后， 品格的宽度刚好是低八度品格的一半。这些都并非巧合， 如果需要们可以用游标卡尺和螺旋测微仪做精细的测量对 比，相信在吉他制作之前也是经过严密的数学计算才能够 这样轻而易举的批量生产的。
为说的年的他开 他莫作。毕只始
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乐器制作中的数学原理
讲到乐器制作中的数学原理[6]，我们有必要吧第二章 中一些知识以及弦振动公式重申一遍。
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音高是由频率决定的
振幅决定了声音的强度
音色（音质）是由发声物体的材质决定
音的长短（时值）是由发声的时间规定
C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹） 、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹 ）、c3（1046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人 声就只有C、c、c1、c2
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假定一根空弦发出的音诗do，则二分之一长度的弦发 出的就是高八度的do，8/9长度的弦发出re,64/81长度 的先发出mi，3/4长度的弦发出fa，2/3长度的弦发出 so,16/27长度的弦发出la,128/243长度的弦发出si等以 此类推，如果我们以音位横坐标，弦长为纵坐标，很 弱故意就可以会出一天近似的指数曲线。这就是为什 么三角钢琴的形状近似于指数曲线了，这样不仅可以 使材料最省，而且优雅美观。
1 , 8/9, 64/81, 3/4, 2/3, 16/27, 128/243
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吉他弦从一弦到六弦，由细到粗，长度一样，但每弦的音 高都不一样，这时怎样做到的呢？
这归结到我们之前所说的频率公式，由于一弦和二弦粗细 一样，而频率不一样，故一弦拉的紧，也就是张力T不一 样。值得注意的是一弦和 他们的音是一样的，而一弦和六 弦的粗细不一样，材质不一样，故他们的p不一样，音高 也自然容易控制了。
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音律的产生发展与数学的关系，其中包括中国古代的 五度相生律的由来，以及现在普遍采用的十二平均律 中的数学原理。在这一章中你会发现，音乐和数学真 的脱不了关系，乐律的不断发展与完善可以完全有数 学推导得出。
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数学知识在音乐中的综合运用
除了上一章中所述的数学与音乐理论的关系之外，数 学知识在音乐中有很多的综合运用，如指数曲线，周 期函数，数学变换，数列等等。
如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合, 那么 等比数列在音乐中的出现就决非偶然了: 1、2、3、4 、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.
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来看一下图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了 12个半音,并且我们知道下一个 C键发出乐音的振动次 数(即频率) 是第一个 C 键振动次数的 2倍,因为用2 来 分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的. 我们容 易求出分割比 x ,显然 x 满足 x^(12)= 2 ,解这个方程 可得 x 是个无理数 , 大约是0. 1106。于是我们说某个 半音的音高是那个音的音高的0.1106 倍 ,而全音的音 高是那个音的音高 0.1106^2 倍. 实际上,在吉它中也 存在着同样的等比数列[4]。
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我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现 多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置： 小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右； 16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带 再现三段式，高潮点在第15小节左右。
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