2008年华中科技大学招收硕士研究生.入学考试自命题试题数学分析一、 求极限1111lim(1...)23n n I n→∞=++++解: 一方面显然1I ≥另一方面1111...23n n++++≤，且1lim 1n n n →∞=由迫敛性可知1I =。

注：1lim 1nn n →∞=可用如下两种方式证明1） 1n h =+，则22(1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n-=+≥+⇒≤≥ 即lim 0n n h →∞=，从而1lim 1nn n →∞=2） =有lim 11n n nn →∞==-。

二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分，并求它的原函数。

证明：记22(,)38P x y x y xy =+，32(,)812y Q x y x x y ye =++，则2316P x xy y ∂=+∂，2316Qx xy x ∂=+∂⇒P Q y x ∂∂=∂∂ Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分设原函数为(,)x y Φ，则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ϕ∴Φ=+⇒Φ=++32328()812y y x x y y x x y ye ϕ'⇒Φ=++=++()12()12(1)y y y ye y y e C ϕϕ'⇒=⇒=-+322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为（为常数）三、设Ω是空间区域且不包含原点，其边界∑为封闭光滑曲面：用n 表示∑的单位外法向量，(,,)r x y z =和2r r x y ==+，证明：cos(,)2n r dS r Ω∑=⎰⎰⎰⎰⎰ 证明：设n 的方向余弦为cos ,cos ,cos αβγ。

因为r 的方向余弦为,,x y zr r r，所以cos(,)cos cos cos x y zn r r r rαβγ=++，由于原点不在空间区域，根据高斯公式，有11cos(,)(cos cos cos )22121()()()2x y zn r dS dS r r r x y zdydz dzdx dxdy r r rx y z dxdydz x r y r z r dxdydz r αβγ∑∑∑ΩΩ=++=++⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰注：当原点也在该区域时，结论也成立，详细参考课本P296第8题答案。

四、设()f t 为连续函数，证明：11()()()()1b y b nn a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰ 证明：记(,)()()n F x y y x f x =-，{(,)|,}D x y a x y a y b =≤≤≤≤由于()f t 为连续函数，故(,)F x y 在D 上连续，从而在D 上可积。

而对每个[,]y a b ∈，(,)yaF x y dx ⎰存在，从而累次积分(,)byaady F x y dx ⎰⎰也存在，同理(,)b xaadx F x y dy ⎰⎰也存在。

于是(,)(,)(,)by b xaaaaDF x y dxdy dy F x y dx dx F x y dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰即11()()()()1bybnn aaady y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰ 五、设1x =11,2,3,...)n x n +==，证明{}n x 收敛并求其极限。

2n x ≤≤，即{}n x 有界。

另一方面2117)024n n n x x x +-==-+≥于是{}n x 单调，从而{}n x 收敛。

设lim n n x x →∞=，则x =解得2x =n n →∞六、设反常积分0()f x dx ∞⎰绝对收敛且lim ()0x f x →∞=，证明20()f x dx ∞⎰收敛。

证明：由于lim ()0x f x →∞=，故10A ∃>，当1x A >时，()1f x <，此时2()()f x f x <再由0()f x dx ∞⎰绝对收敛知，对0ε∀>，20A ∃>有2()A f x dx ε∞<⎰取12max{,}A A A =，则22()()()AAA f x dx f x dx f x dx ε∞∞∞≤≤<⎰⎰⎰故20()f x dx ∞⎰收敛。

注：这里还差0不是 ()f x 的瑕点这一条件，若不然讨论32sin x xdx ∞-⎰由下题可知32sin x xdx ∞-⎰绝对收敛，但23sin xdx x ∞⎰发散。

这是因为 2300sin 14x dx dx x x δδ>⎰⎰发散；233sin 1x dx dx x xδδ∞∞<⎰⎰收敛。

七、讨论反常积分0sin pxdx x ∞⎰的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散），其中0p >为常数。

解：记112001sin sin sin p p p x x x I dx dx dx I I x x x∞∞==+=+⎰⎰⎰ 1） 先讨论1I （可以用瑕积分收敛判别的推论）由0sin lim1x x x →=可知，0δ∃>，当0x δ<<时，1sin 322x x <<110sin sin p p x x I dx dx x xδδ=+⎰⎰，1sin p x dx x δ⎰是定积分，只需考虑0sin p xdx x δ⎰ 当02p <<时，1sin 32p p x x x-<，由103(2)2p dx p x δ-<⎰收敛知0sin p x dx x δ⎰收敛，且绝对收敛；当2p ≥时，1sin 12p p x x x->，由101(2)2p dx p x δ-≥⎰发散知0sin p x dx x δ⎰发散。

2） 再讨论2I当1p >时，sin 1p p x x x ≤，由11p dx x ∞⎰收敛知1sin px dx x ∞⎰绝对收敛当01p <≤时，1sin p xdx x∞⎰条件收敛，这是由于对任意1u ≥，有1sin cos cos12uxdx u =-≤⎰，而1px 单调趋于0()x →∞，由狄利克雷判别法知1sin p xdx x∞⎰收敛。

另外2sin sin 1cos 2(1)22p x x x x x x x x≥=-≥，其中12cos 21cos 22x tdx dt x t ∞∞=⎰⎰满足狄利克雷条件，是收敛的。

但112dx x∞⎰是发散的。

所以当01p <≤时，2I 是条件收敛的。

综上所述，当01p <≤时，I 条件收敛； 当12p <<时，I 绝对收敛； 当2p ≥时，I 发散。

八、将函数()()([0,])f x x x x ππ=-∈展开为余弦级数。

解：对()f x 作偶式周期延拓，则()f x 的傅里叶系数为：0,1,2,...n b n ==2002()3a x x dx ππππ=-=⎰0020200222()cos ()sin 2()sin (2)sin 2(2)cos 2(2)cos 2cos 2(cos 1)n a x x nxdx x x d nxn x x nx x nxdx n x d nx n x nx nxdx n n nπππππππππππππππππππ=-=-⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰即221k a k =-，210k a +=（1,2,...k =） 221cos 2()~6k kxf x k π∞=∴-∑九、证明函数2cos ()1()xI y dx x y +∞=++⎰在[0,)+∞上可微 证明：对0y ∀≥，220cos 1()1()12x I y dx dx x y x π+∞+∞=≤=+++⎰⎰收敛 记2cos (,)1()x f x y x y =++，则()22()cos (,)1()yx y x f x y x y +=-++。

(,)f x y 与(,)x f x y 在[0,)[0,)∞⨯∞上均连续由于对,0x y ∀≥，21()2()x y x y ++≥+，因此220001cos 1(,)21()12x x f x y dx dx dx x y x π∞+∞+∞≤≤=+++⎰⎰⎰ 即0(,)x f x y dx ∞⎰在[0,)+∞上收敛故20cos ()1()xI y dx x y +∞=++⎰在[0,)+∞上可微且()22()cos (),01()x y xI y dx y x y +∞+'=-≥++⎰十、设()f x 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立()1f x ≤，()2f x ''≤。

证明在[0,1]上成立()3f x '≤。

证明：根据泰勒公式，分别将(0)f 与(1)f 在x 处展开：22()(0)()()()([0,])2()(1)()()(1)(1)([,1])2f f f x f x x x x f f f x f x x x x ξξηη'''=+-+∈'''=+-+-∈ 两式相减得22()()()(1)(0)(1)22f f f x f f x x ξη'''''=-+-- 2222()()()(1)(0)(1)22(1)(0)(1)152()322f f f x f f x x f f x x x ξη'''''∴≤+++-≤+++-≤-+≤。