圆中的最值问题【考题展示】题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．题2 （2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求+的最大值.（有修改）a b题3 (2013年武汉四调)如图,∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 （2013年武汉五模）在△ABC中,120BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为A∠=︒，6_________．（有修改）题5 (2013年武汉中考)如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF．连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________．题1图题2 图题3 图【典题讲练】类型1（相关题：题5）1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________．1。
2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°,AC=8,BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图)，求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．1。
3如图，在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．（1）当A在原点时，求点B的坐标；（2)当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；(3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由．1。
4边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为_________．1.5 如图,⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧）,当P点到达B点时运动停止，在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1）在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为_________;（2）在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为_________．DOCBA1。
6 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合）,M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8,则PM长度的最大值是_________．1。
7 如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3，点D是平面内的一个动点,且AD=2，M为BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．AMD类型2（相关题:题4）2。
1如图，已知AB是⊙O的弦,C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC 面积的最大值是_________．2.2如图，已知直线MN经过⊙O上的点A,点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点,AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．2。
3如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC 面积的最大值是_________．2。
4已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．2。
5如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r,则r的最大值为_________．2。
6如图，在△ABC中,AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_________．2。
7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(﹣4，0）、B(0,4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．2.8 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2),⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时,P点的坐标为_________．类型3（相关题:题3）3。
1如图，△ABC中，∠BAC=60°,∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F,连接EF．（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2)求出该最小值．3.2如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8,AC=7,动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．类型4（相关题：题2）4。
1如图,点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a,PB=b．（1）求弦CD的长；(2）如果a+b=10,求ab的最大值，并求出此时a,b的值．(参考2。
4、2。
5)4.2如图,半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB2+CD2=_________．4.3 如图，⊙O的半径为2,点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为_________．4.4如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS．求PQ+RS取值范围．4。
5如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为。
ODCEA B4。
6 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是 .OA B C O A B xy P 类型5（相关题:题1)5.1 如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（—2，0）、(0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，-1)，半径为1,D 是⊙C 上的一个动点,射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．5.2 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点(包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 。
5。
3 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 。
5。
4 在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 是y 轴右侧一点，且AB=2,点C 上直线y=x+1上一动点，且CB ⊥AB 于点B,则tan ACB m ∠=,则m 的取值范围是 .E BO DB O yA x PB O y A x P B O y A xP 5.5 如图,A 点的坐标为(—2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点,请分别探索:①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；【拓展延伸】：①2b a +的范围;②2b a -的范围；类型66。
1 如图，CD 是⊙O 的直径，点A 是半圆上的三等分点,B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当CD=4时，求：（1）AP+BP 的最小值．(2）AP ﹣BP 的最大值．6.2 如图,已知圆O 的面积为3π，AB 为直径,弧AC 的度数为80°，弧BD 的度数为20°，点P 为直径AB 上任一点,则PC+PD 的最小值为_________．6。
3 如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E,CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_________．6.4如图，AB是⊙O的直径,弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动，设运动时间为t(s)，连接EF、CE，当t为_________秒时，CE+EF最小，其最小值是_________．6。
5四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4,AC=8，AB=BC．设O是AC的中点．（1）设P是AB上的动点,求OP+PC的最小值;（2）设Q，R分别是AB，AD上的动点，求△CQR的周长的最小值．补充练习（与例题类型不完全对应)1。
如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为_________．2．已知：如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm,点O从A点出发，沿AB3的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点，过E作EG⊥DE交射线BC于G。
（1）若点G在线段BC上,则t的取值范围是_________．l Q P N M O AE F C Q P A B CF E C B A OGD O A B D C P3．如图，⊙M,⊙N 的半径分别为2cm,4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为⊙M 上的任意一点，Q 为⊙N 上的任意一点，直线PQ 与连心线l 所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α∠的最大值为_________．4．如图，在矩形ABCD 中,AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，则△AOP 面积的最大值为_________．5．如图，在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8，BC=6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是_________．6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是AB 的中点,点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合),过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中,线段EF 长度的最小值为_________．7．如图,A 、B 两点的坐标分别为（2,0）、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一AQCPBO A xyP个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是_________．8．如图,等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为_________．9．在直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点P(m n，）是第一象限内一点，且AB=2，则m n-的范围为_________．10．在平面直角坐标系中,M(3，4)，P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（—1，0）、B（1，0），连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是_________．11. 如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°)．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则tanα的取值范围为_________．。