§2.2椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程 课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念.
3.能由椭圆定义推导椭圆的方程,初步学会求简单的椭圆的标准方程.
4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程.
椭圆的标准方程:焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0),焦点坐
标为________________,焦距为________;焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0).
注:(1)以上方程中a ,b 的大小为a>b>0,其中c 2=________;
(2)椭圆x 2m +y 2
n
=1 (m>0,n>0,m ≠n),当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆;当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆.
一、填空题
1.设F 1,F 2为定点,F 1F 2=6,动点M 满足MF 1+MF 2=6,则动点M 的轨迹是________.
2.椭圆x 216+y 2
7
=1的左右焦点为F 1,F 2,一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为________.
3.平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为____________________.
4.设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,方程x 2sin α+y 2cos α
=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则α的取值范围是________.
5.方程x 22m -y 2
m -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是________. 6.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地面n 千米,远地点距地面m 千米,地球半径为R ,那么这个椭圆的焦距为________千米.
7.椭圆x 29+y 2
2
=1的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若PF 1=4,则PF 2=________,∠F 1PF 2的大小为________.
8.P 是椭圆x 24+y 2
3
=1上的点,F 1和F 2是该椭圆的焦点,则k =PF 1·PF 2的最大值是________,最小值是________.
二、解答题
9.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点⎝⎛⎭
⎫-32,52.
10.已知点A(0,3)和圆O1:x2+(y+3)2=16,点M在圆O1上运动,点P在半径O1M 上,且PM=PA,求动点P的轨迹方程.
能力提升
11.若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点则
OP→·FP→的最大值为________.
12.
如图△ABC中底边BC=12,其它两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G 的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>F 1F 2时轨迹才是椭圆,如果2a =F 1F 2,轨迹是线段F 1F 2,如果2a<F 1F 2,则形不成轨迹.
2.椭圆的标准方程有两种表达式,但总有a>b>0,因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上.
3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程,然后再计算;如果不能确定焦点的位置,有两种方法求解,一是分类讨论,二是设椭圆方程的一般形式,即mx 2+ny 2=1 (m ,n 为不相等的正数).
4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.
§2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆的标准方程
知识梳理
x 2a 2+y 2b 2=1 F 1(-c ,0),F 2(c,0) 2c y 2a 2+x 2
b
2=1 (1)a 2-b 2 (2)x y
作业设计
1.线段
解析 ∵MF 1+MF 2=6=F 1F 2,∴动点M 的轨迹是线段.
2.16
解析 由椭圆方程知2a =8,由椭圆的定义知AF 1+AF 2=2a =8, BF 1+BF 2=2a =8,所以△ABF 2的周长为16.
3.椭圆或线段或无轨迹
解析 当2a>F 1F 2时,点M 的轨迹是椭圆,当2a =F 1F 2时,点M 的轨迹是线段, 当2a<F 1F 2时无轨迹.
4.⎝⎛⎭⎫π4,π2
解析 因椭圆的焦点在x 轴上,
所以sin α>cos α>0,
又因为α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以π4<α<π2
. 5.⎝⎛⎭
⎫0,13
解析 据题意⎩⎨⎧ m -1<0
2m>0
-(m -1)>2m
,解之得0<m<13
. 6.m -n 解析 设a ,c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距,则⎩⎪⎨⎪⎧
a +c =m +R
a -c =n +R
,则2c =m -n. 7.2 120°
解析
∵PF 1+PF 2=2a =6,
∴PF 2=6-PF 1=2.
在△F 1PF 2中,
cos ∠F 1PF 2=
PF 21+PF 22-F 1F 222PF 1·PF 2
=16+4-282×4×2
=-12, ∴∠F 1PF 2=120°.
8.4 3
解析 设PF 1=x ,则k =x(2a -x),
因a -c ≤PF 1≤a +c ,即1≤x ≤3.
∴k =-x 2+2ax =-x 2+4x =-(x -2)2+4,
∴k max =4,k min =3.
9.解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上,
∴设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b
2=1 (a>b>0). ∵2a =10,∴a =5,又∵c =4.
∴b 2=a 2-c 2=52-42=9.
故所求椭圆的标准方程为x 225+y 29
=1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上,
∴设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1 (a>b>0). 由椭圆的定义知,2a =⎝⎛⎭⎫-322+⎝⎛⎭
⎫52+22+ ⎝⎛⎭⎫-322+⎝⎛⎭⎫52-22=3102+102
=210, ∴a =10.
又∵c =2,∴b 2=a 2-c 2=10-4=6.
故所求椭圆的标准方程为y 210+x 26
=1. 10.解 ∵PM =PA ,PM +PO 1=4,
∴PO 1+PA =4,又∵O 1A =23<4, ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆, ∴c =3,a =2,b =1,
∴动点P 的轨迹方程为x 2
+y 24
=1. 11.6 解析 由椭圆方程得F(-1,0),设P(x 0,y 0),
则OP →·FP →=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)
=x 20+x 0+y 20.
∵P 为椭圆上一点,∴x 204+y 203
=1. ∴OP →·FP →=x 20+x 0+3(1-x 204
) =x 204+x 0+3=14
(x 0+2)2+2. ∵-2≤x 0≤2,
∴OP →·FP →的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.
12.解 以BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示坐标系, 则B(6,0),C(-6,0),CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线,
则BD +CE =30.
由重心性质可知
GB +GC
=23
(BD +CE)=20. ∵B 、C 是两个定点,G 点到B 、C 距离和等于定值20,且20>12,
∴G 点的轨迹是椭圆,B 、C 是椭圆焦点.
∴2c =BC =12,c =6,2a =20,a =10,
b 2=a 2-
c 2=102-62=64,
故G 点的轨迹方程为x 2100+y 264
=1 (x ≠±10). 又设G(x ′,y ′),A(x ,y),则有x ′2100+y ′2
64
=1. 由重心坐标公式知⎩⎨⎧
x ′=x 3,y ′=y 3
. 故A 点轨迹方程为(x 3)2100+(y 3)264=1.
即x 2900+y 2576
=1 (x ≠±30).。