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专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)

专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理一、单选题1.(2019·全国高二课时练习)已知a ,b ,c 是不共面的三个向量,则能构成一个基底的一组向量是( ) A .2a ,a ﹣b ,a +2b B .2b ,b ﹣a ,b +2a C .a ,2b ,b ﹣c D .c ,a +c ,a ﹣c【答案】C 【解析】 对于A ,因为2a =43(a ﹣b )+23(a +2b ),得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,A 不正确; 对于B ,因为2b =43(b ﹣a )+23(b +2a ),得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,B 不正确;对于C ,因为找不到实数λ、μ,使a =λ•2b +μ(b ﹣c )成立,故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面, 它们能构成一个基底,C 正确; 对于D ,因为c =12(a +c )﹣12(a ﹣c ),得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面,故它们不能构成一个基底,D 不正确 故选:C .2.(2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试)如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,设1AA a =,AB b =,AD c =,N 是BC 的中点,试用a ,b ,c 表示1A N ( )A .12a b c -++ B .a b c -++C .12a b c --+D .12a b c -+【答案】A【解析】N 是BC 的中点,11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.故选:A.3.(2020·山东省章丘四中高二月考)如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于( )A .111333OA OB OC ++ B .111234OA OB OC ++C .111244OA OB OC ++D .111446OA OB OC ++【答案】C 【解析】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C.4.(2020·河南省高二期末)如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,E 为11A D 的中点,设AB a =,AD b =,1AA c =,则CE =( )A .12a b c --+ B .12a b c -+ C .12a b c -- D .12a b c +- 【答案】A 【解析】由题意结合平行六面体的性质可得1111CE CC C D D E =++111111111222CC C D D A AA AB AD a b c =++=--=--+.故选:A.5.(2020·广东省红岭中学高二期末) AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据向量共线的定义,可知若AB 与CD 共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合; 若AB ∥CD ,则AB 与CD 共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知AB 与CD 共线是直线AB ∥CD 的必要不充分条件, 故选B点睛:向量共线的定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量 .6.(2020·广东省红岭中学高二期末)O 为空间任意一点,,,A B C 三点不共线,若OP =111326OA OB OC ++,则,,,A B C P 四点 A .一定不共面 B .不一定共面 C .一定共面D .无法判断【答案】C【解析】:点P 在平面ABC 内,O 是平面ABC 外的任意一点,则OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=.利用此推论可直接证明一定共面.详解:因为OP =111326OA OB OC ++,且1111326++=,所以,,,A B C P 四点共面. 7.(2019·随州市第一中学高二期中)空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--,则实数x 的值为( ) A .13B .13-C .23D .23-【答案】A 【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面,但任意三点不共线,对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--,所以51133x --=,解得13x =. 故选A8.(2020·甘肃省高二期末)如图,空间四边形OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,且2OM MA =,BN NC =,则MN 等于( )A .221332a b c ++B .122121a b c +- C .122132a b c -++D .123122a b c -+【答案】C 【解析】BN NC =,1()2ON OB OC ∴=+,2OM MA =,23OM OA ∴=,2121()233212MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=++-=-+,故选:C.9.(2020·广西壮族自治区高二期末)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =,AD b =,1AA c =,则下列向量中与BM 相等的向量是( ). A .1122++a b c B .1122-++a b c C .1122--+a b c D .1122-+a b c 【答案】B 【解析】11111111111()()=2222BM BB B M BB A D A B C b a a b c =+=+-=+--++故选B.10.(2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考)在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,,则x +y +z 等于( )A .76B .23C .56D .1【答案】C 【解析】在平行六面体ABCD ﹣EFGH 中,AG =AB +BC +CG , ∵AG =x AB ﹣2y BC +3z DH ,CG =DH , ∴x=1,﹣2y=1,3z=1,∴112x y ==-,,z=13, ∴x+y+z=56, 故选:C . 二、多选题11.(2019·山东省济南一中高二期中)已知平行六面体ABCD A B C D ''''-,则下列四式中其中正确的有( )A .AB CB AC -=B .AC AB B C CC ''''=++C .AA CC ''=D .AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【解析】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图,可得AB CB AB BC AC -=+=,则A 正确;AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=,则B 正确;C 显然正确;AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=,则D 不正确.综上,正确的有ABC.故选:ABC12.(2020·江苏省高二期末)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,下列各式中运算的结果为1AC 的有( )A .AB BC CD ++ B .11111AA BC DC ++ C .111AB C C BC -+ D .111AA DC B C ++ 【答案】BCD 【解析】A .1A AB BC CD AD C ++=≠,故错误;B .11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=,故正确;C .1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=,故正确; D .111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=,故正确. 故选:BCD.13.(2020·山东省高二期末)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外的任一点,则“点M 与点A ,B ,C 共面”的充分条件的是( ) A .2OM OA OB OC =-- B .OM OA OB OC =+- C .1123OM OA OB OC =++ D .111236OM OA OB OC =++ 【答案】BD 【解析】当MA mMB nMC =+时,可知点M 与点,,A B C 共面, 所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++, 所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++,所以11111OA mOB nOC m nOM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-,不妨令11x m n -=+-,1m y m n =+-,1n z m n =+-,且此时1x y z ++=,因为()()21101+-+-=≠,()1111++-=,111111236++=≠,1111236++=, 由上可知:BD 满足要求. 故选:BD.点睛:常见的证明空间中四点,,,M A B C 共面的方法有:(1)证明MA xMB yMC =+;(2)对于空间中任意一点O ,证明OMOA xMB yMC =++;(3) 对于空间中任意一点O ,证明()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=.三、填空题14.(2019·江苏省高二期末)直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===,则1BA =__________. 【答案】a b c -+ 【解析】直三棱柱111ABC A B C -中,若1,,CA a CB b CC c ===111BA BA AA CA CB CC a b c =+=-+=-+故答案为a b c -+15.(2019·新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考)已知非零向量a ,b ,且AB =a +2b ,BC =5a -+6b ,72CD a b =-,则,,,A B C D 中一定共线的三点是________.【答案】A ,B ,D 【解析】由向量的加法原理:5672242BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=又,BD AB 共点B ,故A ,B ,D 三点共线 故答案为:A ,B ,D16.(2019·浙江省诸暨中学高二期中)已知三棱锥O-ABC ,点D 是BC 中点,P 是AD 中点,设OP xOA yOB zOC =++,则x y z ++=________;x =________.【答案】1 12【解析】 如图,()()111222OP OA OD OA OB OC ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦111244OA OB OC xOA yOB zOC =++=++, 所以111,,244x y z ===,所以1x y z ++=,12x =.故答案为:1; 1217.(2019·江苏省高二期中)如图在正方体1111ABCD A B C D -中,已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心,G 为11D C O 的重心,则AG =______【答案】215326a b c ++ 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中,1A A a =,11AB b =,11A D c =, O 为底面的ABCD 的中心,G 为11DC O 的重心,∴AG AO OG =+()()111123AB AD OD OC =+++ ()12b c =+()11132BA BC DD ⎡+++⎢⎣()112AB AD CC ⎤+++⎥⎦()()()11111=26363b c b c a b c a ++-+++++ 215326a b c ++=. 故答案为:215326a b c ++.四、解答题18.(2018·全国高二课时练习)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AD=2,AA 1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个? (2)5.(3)试写出与AB 相等的所有向量. (4)试写出1AA 的相反向量.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析. 【解析】 分析:(1)根据定义模为1的向量即为单位向量(2)在长方体中求出对角线长为5,即可写出所求向量(3)根据大小相等,方向相同即为相等向量可写出(4)大小相等,方向相反的向量即为相反向量. 详解:(1)模为1的向量有11111111,,,,,,,A A AA B B BB C C CC D D DD ,共8个单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5,因此模为5的向量为111,,,AD D A A D 11111,,,,DA BC C B B C CB .(3)与向量AB 相等的向量(除它自身之外)为1111,A B DC DC 及. (4)向量1AA 的相反向量为1111,,,A A B B C C D D. 19.(2020·全国高一课时练习)如图,已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 的向量分别为123,,r r r ,求OD .【答案】321OD r r r =+- 【解析】因为OD OC CD =+,CD BA OA OB ==-, 所以132OD OC OA OB r r r -=+-=+.20.(2019·三亚华侨学校高二期中)如图,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1,点P 在线段BC 上,且3BP BC =,记1,,a AB b AD c AA ===.(1)试用,,a b c 表示1D P ;(2)求1D P 模.【答案】(1)23a b c --; (25【解析】(1)111()()D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+,12()33a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭. (2)因为AB ,AD ,1AA 两两夹角为60°,长度分别为2,3,1. 所以33,1,2a b a c b c ⋅=⋅=⋅=, 2221244423933D P a b c a b c a b a c b c =--=++-⋅-⋅+⋅ 441422=++--+5=21.(2018·全国高二课时练习)在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,AC 与BD 交于O,G 为BD 上一点,BG=2GD,PA =a ,PB =b ,PC =c ,试用基底{a ,b ,c }表示向量PG .【答案】212333a b c -+ 【解析】因为BG=2GD,所以2BG BD 3=.又BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=a+c-2b,所以PG PB BG =+=b+23(a+c-2b) =23a-13b+23c. 22.(2019·全国高一课时练习)设e 1,e 2是不共线的空间向量,已知AB =2e 1+ke 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2.若A,B,D 三点共线,求k 的值.【答案】k=-8.【解析】分析:A ,B ,D 三点共线,故存在唯一实数λ,使得AB BD λ=,再由已知条件表示出BD 与AB ,建立方程组可求出k 和λ值详解:由已知,有BD CD =-CB =(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2.∵A ,B ,D 三点共线,∴存在实数λ,使AB =λBD ,即2e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2),∴2e 1+ke 2=λe 1-4λe 2.∵e 1,e 2是不共线的空间向量,∴24k λλ=⎧⎨=-⎩,解得8k =-. 23.(2018·全国高二课时练习)已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能,OD =17OA -5OB -30OC .【解析】能作为空间的一组基底.假设,,OA OB OC 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y 使OA =x OB +y OC 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-又因为{}123,,e e e 是空间的一个基底,所以123,,e e e 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩此方程组无解,即不存在实数x,y 使OA =x OB +y OC ,所以,,OA OB OC 不共面.故{,,OA OB OC }能作为空间的一个基底.设OD =p OA +q OB +z OC ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-因为{}123,,e e e 为空间的一个基底, 所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得17,-5,-30.p q z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故OD =17OA -5OB -30OC .点睛:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++.我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.。

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