其中 j 1,2,, n 2
• 通过（n-2）次变换，可以约化为三对角阵。
18
Householder 变换
例 2 对例1中的矩阵，用Householder 变换约化为三对角阵。
k 1 ，得向量 xT (1,2,1,2) 解： ，因此
1 1/ 2 s [2 (1,2) 2 ] 3
3 0 0 1 3 2 . 3333 0 . 4472 0 . 1491 A3 G2,4, A2G T (2,4, ) 0 0.4472 2 1 0 0.1491 1 0 . 3333
0 0 0 0.6667 1 0 0 0.7475
换 H，使得
Hx = e1
其中 = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ，H
uuT
u x e1 ( x1 )

I
的选取是为了防止在实际计算中 与 x1 互相抵消 若 x1=0, 则取 = ||x||2
17
1 T G G (2) 正交：
(3) 如果A是对称阵，则GAGT也是对称阵 (4) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 (5) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值
7
Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零，
w2 (0,0,0.99751 ,0.07199 )T 3 0 1 2.3333 0.4714 3 A3 0 0.4714 1.1667 0 0 1.5000
0 0 1.5000 0.5000
20
• 当矩阵比较稠密时，具有更高的效率
19
Householder 变换
3 0 0 1 7 7 1 3 3 15 15 T 7 118 101 A2 H1 A1 H 1 0 15 75 75 1 101 7 0 15 75 75 7 7 1 7 1 k 2, xT (3, , , ) x3 , y 3 15 15 15 15 7 2 1 1 12 7 s [( ) ( )( )] 0.4713 v3 s 0.9310 15 15 15 15
10
Givens 变换
由 A2，令
i 2, j 4, tan a14 2 , cos 0.7454 0.8944 ，得 sin 0.6667 a12 2.2361
则
0 1 0 0.7475 G (2,4, ) 0 0 0 0.6667
a12 sin a13 cos a22 sin a23 cos a23 sin a33 cos
0
5
Givens 变换
定义：称矩阵 i j
i
j
为 Givens 变换，或 旋转变换。
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
(2) Givens变换：Ak 1 G Ak GT 。经过变换可以把
k 1,2, , 1 (n 1)(n 2) 2
ai (i m) ai (i 1)
(i 2, i), (i, i 2), (i 3, i), (i, i 3),...,(n, i), (i, n) 上的元素化为0。
0 cos sin
0 sin cos
a13 a12
a11 GA a12 cos a13 sin a sin a cos 13 12
令 tan
0
a11 AGT a12 a 13
a12 cos a13 sin a22 cos a23 sin a23 cos a33 sin
其特征多项式
pn ( ) det(I C )
c1
b1
b1
c1

b2 bn 2

c1
bn 1
bn 1
c1
多项式序列 { pn ( )}是一个Sturm序列。应用Sturm定 理，可以求出在 ( , ) 内实根的个数和隔离出 C的特征值区间，原则上可以用二分法求出全部或 者部分特征值。
(4) 保模： Hw x
2
x
2
(5) det( Hw ) 1
15
Householder 变换
定理：设 x, y Rn, x y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得
y = Hx
16
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x Rn，存在 Householder 变
25
一般矩阵特征值的计算
对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代， 它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的 元素近似为矩阵的特征值。
26
QR算法
27
QR算法
定理：设 矩阵A是n 阶 非奇异实矩阵，则存在正交分解
A = QR
其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。
s [a
y y]
T
1
2
yT (ak 2,k , ak 3,k ,, an,k )
经过变换可以把
k 1,2,, n 2
T (2) Householder变换。 Ak 1 H wk Ak H wk
( j 2, j ), ( j, j 2), ( j 3, j ), ( j, j 3),...,(n, j ), ( j, n)上的元素化为0。
2
x2 2 , yT (1,2) ，得
1 (0,5,1,2)T 30
1 2 A 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
v2 2 s 5
1 1 w 1 2 3 (3 2) 30 2s( s x2 )
13
Householder 变换
定义：设 w R n 且 wT w 1 ，称矩阵
Hw I 2wwT
为Householder变换。
14
Householder 变换
性质
T (1) 对称：H w Hw 1 T H H (2) 正交： w w Hw 2 I (3) 对合：H w
3
Givens变换
4
引例
a1 1 A a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
a12 a22 cos a23 sin a22 sin a23 cos
1 G (2,3, ) 0 0
a23 cos a33 sin a23 sin a33 cos a13
Householder 变换
计算步骤
T T T T (1) 构造H w 矩阵。 ，其中 w ( 0 , v , y ) H wk I 2wk wk k k 1
0
T
1 为k维向量 2s( s | ak 1 |)
2 k 1, k
vk 1 ak 1 sgn(ak 1 )s
数值分析
第七章 矩阵特征值的计算
—— 正交变换与QR 算法
王伟
1
主要内容
正交变换
Givens 变换 Householder 变换
Sturm序列与二分法
QR 算法
基本算法 具有移位的QR算法
2
实对称阵特征值的计算
通过正交变换，将实对称矩阵约化为三 对角阵，利用Sturm定理隔离特征值，最后 用二分法求出所需特征值。
0 0 0 1 0 0 . 8944 0 . 4772 0 G (2,3, ) 0 0.4772 0.8944 0 0 0 0 1
1 2.2361 A2 G (2,3, ) A1G T (2,3, ) 0 2 2.2361 1 1 1.3416 0 1 2 0.4472 2 1.3416 0.4472 1
同理，得
3 0 0 1 0 3 2.3333 0.4714 A4 0 0.4714 1.1667 1.5000 0 0 1.5000 0.5000
11
Householder变换
12
Householder 变换
1985年，A.S.Householder提出用初等 Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三 对角阵，只需要（n-2）次变换（Givens方 法需要（1/2(n-1)(n-2)）次变换）就能达到 简化目的。
T H1 I 2w1w1
1
1 0 0 0
0 2 3 1 3 2 3
0 5 I 2 1 30 1 30 (0,5,1,2) 1 0 0 1 2 2 3 3 14 2 15 15 2 11 15 15
•规定
p0 ( ) 1
23
Sturm序列与二分法
2 1 例3 考察矩阵C的特征值分布 C 解：C的特征多项式 1 2 1 1 2 1 1 2
2
pn ( ) det(I C ) 1
1 2 1
1 2 1
Sturm序列与二分法
21
Sturm序列与二分法
设C是n阶对称阵A通过前面两种方法之一，约化 为的三对角阵。
c1 b1 C b1 c2 b2 bn 2 cn 1 bn 1 bn 1 cn