D
A
O
B
图1
图2
5.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆 心角是＿6＿0°＿,圆周角是＿30＿°＿或＿150＿°＿.
O A
B
6.已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果
∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD. D
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
A.AB=2CD B.AB＜2CD C.AB＞2CD
D.不能确定
3、 如图2，⊙O中A⌒B的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么
∠BOC等于 ( )；
A．150° B．130°
C．120°
D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC=
；若O为△ABC的内心，∠BOC=
．
C
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则 这个三角形的面积为__3_0c_m__2 ．
O
C
∴ ∠ B=180°－70 °=110 °
A
B
7.平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最 短为2cm,则圆O的半径为_2_或__4_c_m_.
与圆有关的位置关系:
1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r, 则d与r的大小关系为:
3.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方
程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部
D．点A不在⊙O上
2.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来
;
3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆
柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽
AB=60 cm，则污水的最大深度为
cm
A
C
E
D
O
m
n
B
图1
O
A
B
图2
4.M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm， 最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
练一练
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ；
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A．
点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
．
点在圆外
d＞r
B
1.如图,OA是⊙O的半径,已知AB=OA,试探索当∠OAB的 大小如何变化时点B在圆内?点B在圆上?点B在圆外?
O•
A
B
OP
2.有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，则 ＯＰ的取值范围是＿r＿＜＿OP＿＜＿R .
辅助线 规律
圆
能力树
圆的定义
1.圆的定义辨析
篮球是圆吗？
圆必须在一个平面内
以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
圆是“圆周”还是“圆面”？
圆是一条封闭曲线
圆周上的点与圆心有什么关系？
2.圆的定义（集合观点）
第24章 圆
复习与小结
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系
三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆
圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
圆的基本性质
点、直线与圆 的位置关系
正多边 形和圆
弧长和扇 形面积
圆
知识树
垂径定理 圆心角，圆
旋转
周角定理
中心 圆的基本性质
轴
几个相关概念与计算
正多边 形和圆
等分圆
外接圆
内切圆
点、直线与圆 的位置关系
确弧定长和圆扇 的形条的计件算
圆锥的侧 面积和全 面积
圆 切线的性质和判定
弧长 扇形面积
知识树
运动变 化观点
数形结 合思想
分类、方 程思想
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
圆周角定理及推论
D
B
C
C
E
●O
A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论：1.同弧(或等弧）所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等
2.直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．
后证明DF等于圆D的半径
BD
F
5.如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上, 且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
只要连接OC，而后 证明OC垂直CD
A
C
O
B
D
3.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直于 这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂 线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径 ∴CD⊥OA.
4.四边形与圆的位置关系
圆内接四边形的性质： （1）对角互补； （2）任意一个外角都等于它的内对角
圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（
）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
5.圆与圆的位置关系
交点个数
d
R
r
0
名称
外离
1
外切
2
相交
1
内切
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d=R-r
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
与圆有关的概念
弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？
弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
练一练
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦
BC与小圆相切，则BC=_____ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 A
P
B
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
O
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d<R-r
6.正多边形和圆：
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.”
这句话对吗?( 错 )
垂径定理推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
例.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
A ●O
B
直角三角形的内切圆半 径与三边关系.
r abc. A 2
D
O
●┗
F
┓
B
EC
B
三角形的内切圆半径与圆面积.
S 1 ra b c.
2A
D
F
O
●
┓
E
C
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”， 先应当假设这个三角形中 A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60° C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
垂径定理
1.定理 条弧.
C
A
M└
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两
B
若 ① CD是直径
②CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.