N 1
从上式可以看出，一个二维傅立叶变换 可用二次一维傅立叶变换来实现
(0,0)
f(x,y)
N-1
y
(0,0)
F(x,v)
N-1
v 列变换
(0,0)
F(u,v) u
N-1
v
N-1
x
行变换 N-1
N-1
x
二维傅立叶变换分离成两个一维变换
行变换
列变换
（2）平移性 在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频 ux vy j 2π ( ) 谱F(u,v)要乘上一个负的指数项 e N
（5）分配性（线性）和比例性（缩放） 傅立叶变换的分配性表明，傅立叶变换和反变换 对于加法可以分配，而对乘法则不行，即
{ f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y ) f 2 ( x, y )} { f1 ( x, y )} { f 2 ( x, y )}
图像傅立叶变换
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
图像傅立叶变换
图像中的颗粒状对 应的幅度谱呈环状， 但即使只有一颗颗 粒，其幅度谱的模 式还是这样。
图像傅立叶变换
这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的
例 对比


傅立叶变换的物理意义
梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，我们 首先就可以看出，图像的能量分布，如果频 谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较 柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度 相对较小），反之，如果 频谱图中亮的点数 多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明 且边界两边像素差异较大的。

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的 指标，是灰度在平面空间上的梯度。 对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是 图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像 上各点并不存在一一对应的关系，即使在 不移频 的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的 明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点 差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的 大小 如：在图像中灰度变化缓慢的区域，对应的频 率值很低；而对于在图像中灰度变化剧烈的区域， 对应的频率值较高。
i 0,1, , M 1; j 0,1, , N 1;
相关
2个函数的相关定义为
z ( x) f ( x) g ( x) f * (i ) g ( x i )
其中f*(i)为f(i)的复共轭
i 0 N 1
与卷积比较： z ( x) f ( x) * g ( x) f (i ) g ( x i )
b 图的大体轮廓
b图的幅值谱与 a图的相位谱组合
a 图 的 相 位 谱
b 图 的 幅 值 谱
a 图的大体轮廓
由此可以说明相位 谱较幅值谱更能影响 图像的形状。 通俗的说，幅度决 定图像的强弱，相位 决定图像的频率。
先将幅值谱设为常数（这里设 为1），然后和图像原来的相位谱 结合，进行傅里叶反变换
0 0
ux vy f x x , y y F u, v exp j 2 N
0 0 0 0
也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发 生相移，而傅立叶变换的幅值不变。
| F (u, v)e j 2π (ux0 vy0 ) || F (u, v) |
图像的傅里叶 变换是图像在空域和 频域之间的变换
幅度和相位哪个更
能影响图像的形状呢
请看如下试验
先 准 备 两 张 图 片
a 图
b 图
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 幅 值 谱
b 图的相位谱
a 图的相位谱
图a的幅值谱 和图b的相位谱 重新组合
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 相 位 谱
傅立叶原理



傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都 可 以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据 该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始 信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的 频 率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反 变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单 独改变的正弦波信号转换成一个信号。 因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信 号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可 以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最 后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时 域信号。

N 1
ux vy f x, y exp j 2 N
ux N 1 vy exp j 2 f x, y exp j 2 N y 0 N x 0
ux F x, v exp j 2 N x 0
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里设 为1），然后和图像原来的幅值谱 结合，进行傅里叶反变换
a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相 位谱较幅值谱更能 影响图像的轮廓。
傅立叶变换的性质
（1）可分性
1 F u, v 2 N 1 2 N 1 N
N 1 N 1 x 0 y 0
其傅立叶谱为：
| F (u , v) | AXY | sin(πuX ) sin(πvY ) || | πuX πvY AXY Sa(uX ) Sa(vY ) sin(t ) t
其中 Sa(t )
傅立叶谱在(0,0)处 取最大值； 傅立叶谱在
π ux=nπ
π vy=nπ 处取零值。
说明： 傅立叶谱通常用lg(1+|F(u,v)|) 的图像显示，而 不是F(u,v)的直接显示。因为傅立叶变换中， F(u,v)随u或v的衰减太快，这样只能表示F(u,v) 高频项很少的峰，其余都难于看清楚。 采用lg(1+|F(u,v)|) 显示 1. 能更好得表示F(u,v)的高频(即F(u,v)＝0的点)， 这样便于对图像频谱的视觉理解； 2. 这样显示的傅立叶频谱图像中，窗口中心为低频 （图像能量），向外为高频（噪声和细节），从 而便于分析。
i 0 N 1
N A C 1
图像变换基础
信号变换理论

―任意‖的函数通过一定的分解，都能够表 示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦 函数在物理上是被充分研究而相对简单的 函数类。
5.2 傅里叶变换 什么是傅立叶变换


一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个 玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜 色的物理仪器，每个成分的颜色由波长 （或频率）来决定。 傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将 函数基于频率分解为不同的成分。当我们 考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅 立叶变换使我们能通过频率成分来分析一 个函数。
反之，在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的
f(x,y)要乘上一个正的指数项 e
j 2π (
u0 x v0 y ) N
u xv y f x, y exp j 2 F u u , v v N
0 0 0
0

因此，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空 域中也只发生相移，而幅值不变。
x r cos θ y r sin θ u ω cos φ v ω sin φ
则f(x,y)和F(u,v)分别变为f(r,θ) 和F(ω ，φ) 在极坐标系中，存在以下变换对
f (r , θ θ0 ) F (ω, θ0 )
该式表明，如果空间域函数f(x,y)旋转θ0角度后， 相应的傅立叶变换F(u,v)在频域中也旋转同一θ0角， 反之，F(u,v)在频域中旋转θ0角，其反变换f(x,y)在 空间域中也旋转θ0角
N N F (u , v ) 2 2
即，如果将图像频谱的原点从起点(0，0)移到图像中 心点(Nx＋y)因子后，再 进行傅立叶变换即可。
（3）周期性和共轭对程称性
周期性可表示为
F u, v F u N , v F u, v N F u mN , v nN m, n 0,1,2,
z ( x) f ( x) * g ( x) f (i ) g ( x i )
i 0 N 1
N A C 1
任意函数与脉冲函数卷积的结果，是将该函数平移到脉冲所在位置。
对于图像二维函数的卷积，则
z (i, j )
M 1 N 1 k 0 l 0
f (k , l ) g (i k , j l )
非周期性的 连续信号
非周期性的 连续波形
周期性的 连续信号 非周期性的 离散谱
取样作离散 化处理
周期性的 连续谱
离散化并延拓 为周期性信号
周期性的 离散谱
例：求如图所示的函数的傅立叶谱 f(x,y)
A
y x
A f ( x, y ) 0
f(x,y)函数
0 x X ,0 y Y x X , x 0, y Y , y 0
在数字图像处理中，我们常常将F(u,v)的原点移到N×N 频域方阵的中心，以使能清楚地分析傅立叶变换谱的情 况，只需令：u0＝v0＝N/2 则
j 2 π ( u0 x v0 y ) N
因子为：e
e
jπ ( x y )
(1)
( x y )
得到：f ( x, y )( 1)
( x y )
图像傅立叶变换
原图像